Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 3 \ctg x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = тан­генс x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус x конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но, если синус x не равно 0 и ко­си­нус x не равно 0. Для таких зна­че­ний x можно умно­жить обе части урав­не­ния на синус x ко­си­нус x:

3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус x конец дроби рав­но­силь­но 3 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус x = синус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 3 ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

При­рав­ня­ем каж­дую из ско­бок к нулю. Пер­вый слу­чай:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x = 0 рав­но­силь­но синус x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x рав­но­силь­но тан­генс x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Вто­рое урав­не­ние решим ме­то­дом вве­де­ния вспо­мо­га­тель­но­го угла:

синус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x = 1 рав­но­силь­но 2 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x плюс дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 3 = дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи k , x плюс дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 3 = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи }6 плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит \mathbb{Z, зна­ме­на­тель: . конец дроби

Серия дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k не вхо­дит в ОДЗ урав­не­ния.

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми яв­ля­ют­ся серии дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k и минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k.

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Вве­де­ние вспо­мо­га­тель­но­го угла, До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026