Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 543773
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние \left| 2 тан­генс x минус 5 | минус \left| 2 тан­генс x минус 1 |=2.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Сде­ла­ем за­ме­ну пе­ре­мен­ной t = 2 тан­генс x, тогда:

|t минус 5| минус |t минус 1| = 2 рав­но­силь­но |t минус 5|=2 плюс |t минус 1| рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t минус 5=2 плюс |t минус 1|,t минус 5= минус 2 минус |t минус 1| конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний |t минус 1| = t минус 7,|t минус 1| = 3 минус t конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 2t=8,t \geqslant7 конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний 2t =4, t \leqslant3 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но t=2.

Таким об­ра­зом, 2 тан­генс x =2, от­ку­да x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Точка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби удо­вле­тво­ря­ет за­дан­но­му ин­тер­ва­лу.

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z \rigth пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

При­ме­ча­ние.

Урав­не­ние |t минус 5| минус |t минус 1| = 2 удоб­но ре­шить, ис­поль­зуя гео­мет­ри­че­ский смысл мо­ду­ля. Дей­стви­тель­но, с гео­мет­ри­че­ской точки зре­ния левая часть урав­не­ния пред­став­ля­ет собой раз­ность рас­сто­я­ний от точки с ко­ор­ди­на­той t до точек с ко­ор­ди­на­та­ми 5 и 1 на чис­ло­вой оси. Эта раз­ность равна в точке t = 2; для точек, ле­жа­щих на чис­ло­вой оси пра­вее числа 2, эта раз­ность рас­сто­я­ний будет мень­ше двух, а для точек, ле­жа­щих левее,  — боль­ше двух.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 310 (часть 2)
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ние с мо­ду­лем, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
IRINA SHRAGO 23.01.2022 17:47

Есть почти уст­ное Гео­мет­ри­че­ское ре­ше­ние. После за­ме­ны и де­ле­ния на 2, левая часть урав­не­ния |t-5/2| -|t-1/2| - это раз­ность рас­сто­я­ний на чис­ло­вой оси от точки t до точек 5/2 и 1/2. И она долж­на рав­нять­ся 1. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко 1 точка t=1, т.о. tg x = 1.

Даль­ше всё как в пред­став­лен­ном ре­ше­нии.

Служба поддержки

До­ба­ви­ли при­ме­ча­ние. Спа­си­бо.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025