Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 527633

а) Решите уравнение  косинус 9x минус косинус 7x= корень из 2 синус x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Преобразуем левую часть уравнения при помощи формулы разности косинусов:

 косинус 9x минус косинус 7x= корень из 2 синус x равносильно минус 2 синус 8x синус x= корень из 2 синус x равносильно

 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус 8x= минус дробь: числитель: корень из 2}2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,8x= минус дробь: числитель: Пи }4 плюс 2 Пи k,8x= минус дробь: числитель: 3 Пи }4 плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ,x= минус дробь: числитель: {, знаменатель: 3 конец дроби Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби pi k, знаменатель: 4 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка . Учитывая, что k принадлежит Z , решим неравенства:

 минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи k меньше или равно минус Пи ,

 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус 1,

k= минус 1.

 

Значит, x= минус Пи .




 минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно минус Пи ,

 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: минус 1 плюс 8k, знаменатель: 32 конец дроби меньше или равно минус 1,

 минус 48 меньше или равно минус 1 плюс 8k меньше или равно минус 32,

 минус дробь: числитель: 47, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 31, знаменатель: 8 конец дроби ,

k= минус 5 или k= минус 4.

 

Значит, x= минус дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 32 конец дроби или x= минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 32 конец дроби .

 минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно минус Пи ,

 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: минус 3 плюс 8k, знаменатель: 32 конец дроби меньше или равно минус 1,

 минус 48 меньше или равно минус 3 плюс 8k меньше или равно минус 32,

 минус дробь: числитель: 45, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 29, знаменатель: 8 конец дроби ,

k= минус 5 или k= минус 4.

 

Значит, x= минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 32 конец дроби или x= минус дробь: числитель: 43 Пи , знаменатель: 32 конец дроби .

 

На указанном промежутке лежат числа  минус дробь: числитель: 43 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус Пи .

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  минус дробь: числитель: 43 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения