Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 527633
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус 9x минус ко­си­нус 7x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем левую часть урав­не­ния при по­мо­щи фор­му­лы раз­но­сти ко­си­ну­сов:

ко­си­нус 9x минус ко­си­нус 7x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x рав­но­силь­но минус 2 синус 8x синус x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x=0, синус 8x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та }2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= Пи k,8x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи }4 плюс 2 Пи k,8x= минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи }4 плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= Пи k,x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,x= минус дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби pi k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит \mathbb{Z, зна­ме­на­тель: . конец дроби

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Учи­ты­вая, что k при­над­ле­жит Z , решим не­ра­вен­ства:

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно Пи k мень­ше или равно минус Пи ,

минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно минус 1,

k= минус 1.

 

Зна­чит, x= минус Пи .




 минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно минус Пи ,

минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс 8k, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби мень­ше или равно минус 1,

минус 48 мень­ше или равно минус 1 плюс 8k мень­ше или равно минус 32,

минус дробь: чис­ли­тель: 47, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 31, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,

k= минус 5 или k= минус 4.

 

Зна­чит, x= минус дробь: чис­ли­тель: 33 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби или x= минус дробь: чис­ли­тель: 41 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби .

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно минус Пи ,

минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 3 плюс 8k, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби мень­ше или равно минус 1,

минус 48 мень­ше или равно минус 3 плюс 8k мень­ше или равно минус 32,

минус дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,

k= минус 5 или k= минус 4.

 

Зна­чит, x= минус дробь: чис­ли­тель: 35 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби или x= минус дробь: чис­ли­тель: 43 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби .

 

На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат числа минус дробь: чис­ли­тель: 43 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 41 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 35 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 33 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби , минус Пи .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка Пи k, минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 43 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 41 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 35 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 33 Пи , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби , минус Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 280
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025