Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 640279
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 4 x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­си­нус 2 x левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­си­нус 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По фор­му­ле ко­си­ну­са удво­ен­но­го угла спра­вед­ли­во тож­де­ство ко­си­нус 4x = 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 1. Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 4 x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­си­нус 2 x левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­си­нус 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус в квад­ра­те 2 x=2 ко­си­нус 2 x левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­си­нус 2 x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2 x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 2 x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x=0, ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус 2x= минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . \underset | ко­си­нус 2x| мень­ше или равно 1 \mathop рав­но­силь­но
\underset | ко­си­нус 2x| мень­ше или равно 1 \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x=0, ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­чим числа: минус дробь: чис­ли­тель: 47 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 15 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 37 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 35 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 47 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 15 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 37 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 35 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 640279: 659130 Все

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 426
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025