Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние: 16 синус в сте­пе­ни 4 x плюс 8 ко­си­нус 2x минус 7=0.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0,5 Пи ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

 

а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой синус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Из неё сле­ду­ет, что синус в сте­пе­ни 4 x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 2 ко­си­нус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му из ис­ход­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

4 ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 8 ко­си­нус 2x плюс 4 плюс 8 ко­си­нус 2x минус 7=0 рав­но­силь­но 4 ко­си­нус в квад­ра­те 2x=3 рав­но­силь­но ко­си­нус 2x=\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k,k при­над­ле­жит Z .

 

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку.

 

По­лу­чим дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

16 синус в сте­пе­ни 4 x плюс 8 ко­си­нус 2x минус 7=0 рав­но­силь­но 16 синус в сте­пе­ни 4 x плюс 8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7=0 рав­но­силь­но 16 синус в сте­пе­ни 4 x минус 16 синус в квад­ра­те x плюс 1=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но синус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но синус x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус x=\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x=\pm арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку.

 

По­лу­чим

минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи ; минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи ; арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи ;

арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи ; минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи ; минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи .

 

Ответ: a) \pm арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z ; б) \pm арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи ; минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 511419: 515825 Все

Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Андрей Соловьев 20.02.2019 05:04

здрав­ствуй­те, в пер­вой части за­да­ния где мы на­хо­дим корни, при пе­ре­хо­де от ко­си­ну­са двой­но­го угла к на­хож­де­нию корня урав­не­ния, по­лу­чи­лось пи/6 + пи*к, но как такое может быть ведь фор­му­ла на­хож­де­ния корня из ко­си­ну­са:

x=+/- arccos a + 2пи*к

Александр Иванов

Вни­ма­тель­но по­смот­ри­те на ри­су­нок



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025