Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 627637
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус в квад­ра­те 3x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 4x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 5x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лы по­ни­же­ния по­ряд­ка:

ко­си­нус в квад­ра­те 3x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 4x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 5x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 6x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 8x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 10x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 3 плюс ко­си­нус 6x плюс ко­си­нус 8x плюс ко­си­нус 10x=3 рав­но­силь­но ко­си­нус 6x плюс ко­си­нус 8x плюс ко­си­нус 10x= ко­си­нус 8x плюс 2 ко­си­нус 8x ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­си­нус 8x левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 8x=0, ко­си­нус 2x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 8x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,2x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k,k при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 15 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 15 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

ко­си­нус в квад­ра­те 3x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 4x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 5x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 4x минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус в квад­ра­те 4x плюс ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 4x плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 4x ко­си­нус x плюс синус 4x синус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс ко­си­нус в квад­ра­те 4x плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 4x ко­си­нус x минус синус 4x синус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те 4x ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 синус в квад­ра­те 4x синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 4x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 4 ко­си­нус в квад­ра­те 4x ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 4 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те 4x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те 4x минус 3=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 8 ко­си­нус в квад­ра­те 4x ко­си­нус в квад­ра­те x минус 4 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те 4x плюс 1=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те 4x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1=0,2 ко­си­нус в квад­ра­те 4x минус 1=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , ко­си­нус в квад­ра­те 4x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус 4x=\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 386
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025