а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 8, а бо­ко­вое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки L и N со­от­вет­ствен­но, причём AL : LB  =  SN : NC  =  1 : 3. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую LN и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 8 млн руб­лей на срок 10 лет. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга так, чтобы на на­ча­ло июля каж­до­го года долг умень­шал­ся на одну и ту же сумму по срав­не­нию с преды­ду­щим июлем.

Най­ди­те наи­мень­шую воз­мож­ную став­ку r, если из­вест­но, что по­след­ний платёж будет не менее 0,92 млн руб­лей.

Диа­го­на­ли рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Окруж­ность с диа­мет­ром AD пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну CD в точке M, а окруж­ность с диа­мет­ром CD пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке N. От­рез­ки AM и CN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что точка P лежит на диа­го­на­ли BD тра­пе­ции ABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки P до бо­ко­вой сто­ро­ны AB, если BC  =  3, AD  =  21.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два корня.

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 7.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 231?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?