1. Тип Д13 C3 № 505588 
Классификатор алгебры: Системы неравенств
Методы алгебры: Выделение целой части дроби
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Системы сложных неравенств. Рациональные, иррациональные, показательные неравенства
i
Решите систему неравенств 
Решение. Решим второе неравенство системы:
Рассмотрим первое неравенство системы на множестве [1; 3]. Преобразуем его правую часть:
Получаем:
Квадратный трехчлен 
при всех 
поскольку 
Кроме того, на [1; 3] 
Следовательно:
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ:
505588
Классификатор алгебры: Системы неравенств
Методы алгебры: Выделение целой части дроби
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
при всех 
поскольку 
будут числа: −4 и −3. (Корень квадратного трехчлена 
равный −5 не может служить искомым корнем из-за неотрицательности выражения 
).
Пересечением решений обоих неравенств будет множество 
для любого 
Следовательно, 
поскольку 
тогда:
Решения второго неравенства — множество 
для любого 
так как 
Кроме того, на рассматриваемом множестве также 
Тогда рассматриваемое неравенство можно представить системой: 
поскольку дискриминанты квадратных трехчленов (левые части неравенств) отрицательны. Следовательно, 
Теперь с учетом ограничений на значения 
из второго неравенства 
и решений первого неравенства системы рассмотрим второе неравенство только на множестве 
Очевидно, что на этом множестве:
так как дискриминант подкоренного выражения отрицателен: 
А для того чтобы левая часть неравенства была не меньше 1, необходимо и достаточно выполнение двух условий: 
и 
Решим систему: 
знаменатель левой части первого неравенства обращается в нуль. Поэтому дальнейшие наши исследования будем вести на множестве 
то 
А также на 
Значит, на этом множестве 
Следовательно, 
Следовательно, 
имеем, что 
Итак, решения исходной системы: 
Итак, решения первого неравенства есть множество 
для всех 
будем иметь: 
значит, 
Тогда: 
то 
при которых левая часть неравенства обращается в нуль. Таковыми будут числа: 
число 3 не входит в искомые решения:
будут также выполнены условия: 
то на множестве 
так как в точках 
и 
первое и второе подмодульные выражения соответственно обращаются в нуль. 
Тогда 
неравенство примет вид:
или 
Тогда 
неравенство примет вид: 
На рассматриваемом промежутке получим другую часть искомых решений: 
Тогда 
неравенство примет вид:
то на этом множестве 
Далее имеем:
являются числа: −1 и −3.
Теперь решим второе неравенство системы. 
Пересечением решений обоих неравенств будет множество 
Тогда: 
то 
и второе неравенство примет вид:
или 
Следовательно, на рассматриваемом множестве 
то
и второе неравенство системы примет вид:
Пересечение решений обоих неравенств системы есть множество 
левая часть последнего неравенства неположительна, тогда как правая ее часть неотрицательна. Следовательно, неравенство выполняется при любом 
Значит, 
есть часть решений этого неравенства. 
неравенство примет вид: 
а это значит, что 5 — решение рассматриваемого неравенства. 
при любом 
тогда как 
на два подмножества: 
и 
и на каждом из них рассмотрим второе неравенство системы. Ясно, что на каждом из них 
значит, 
Тогда рассматриваемое неравенство имеет вид: 
решениями второго неравенства системы будет его подмножество 
Последнее неравенство от значений переменной не зависит, следовательно, 
или 
Поэтому 
для всех 
Следовательно, второе неравенство на промежутке 
равносильно неравенству 
и 
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
относительно 
использована теорема Виета.
относительно 
Тогда при 
на 
равносильно неравенству 
поскольку их множества решений совпадают на 
меньше нуля (
). Следовательно, решение этой системы совпадет с решением неравенства 
Значит, 
Докажем это: 
что равносильно цепочке неравенств 
Последнее неравенство выполнимо только при 
Но значение 
для этого выражения оказалось недопустимым. Следовательно, первое неравенство заданной системы решений не имеет. Тогда и исходная система решений иметь не будет.
первое неравенство заданной системы обращается в верное числовое неравенство.
Действительно, 
(неравенство верно).
с числами 
и 
(неравенство очевидное).
(неравенство очевидное).
использована замена выражения 
на выражение 
с учетом ограничений на значения 
Разобъем числовую прямую на промежутки: 
и определим знаки подмодульных выражений на каждом из этих промежутков.
Тогда все подмодульные выражения будут неположительными. Неравенство примет вид: 
Тогда 
Тогда 
Тогда
и 
и 
(неравенство верно, так как 
).
Тогда 
и второе неравенство примет вид: 
Перейдем к переменной 
Докажем это: 
Ясно, что 
При 
и 
левая часть неравенства будет иметь вид: 
а само неравенство — 
Тогда:
т. е. при 
или 
Но с учетом результата, полученного при решении первого неравенства, рассмотрение значения 
– это часть решения второго неравенства системы.
было неположительным. Ясно, что это условие будет выполнено при 
Поскольку число −1 не относится к числу решений неравенства, то мы вправе понизить степень числителя и знаменателя, разделив их на 
Тогда для 
будем иметь: 
Это симметрическое (возвратное) уравнение. Ясно, что 
поскольку 
Разделим обе части уравнения на 
тогда 
Поскольку 
решений не имеет, так как противоречит неравенству 
Значит, интервал 
и есть решения неравенства (*) на множестве 
Введем новую переменную. Пусть 
Тогда 
Неравенство принимает вид: 
Возведем обе части неравенства в третью степень и получим: 
Учитывая неотрицательность переменной u будем иметь: 
где 1; 4; 6; 4; 1 — соответствующие биномиальные коэффициенты.
Заметим, что левая часть неравенства положительна (равенство нулю мы уже рассмотрели выше). Следовательно, правая часть также обязана быть положительной. Но это условие выполнимо лишь при 
Найдем значения x, при которых выполняется условие 
Оно истинно при значениях переменной, удовлетворяющих совокупности неравенств: 
и 
Поскольку мы ищем только те значения x, которые больше −2, то в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь тех значений переменной, которые больше 3. При этом, мы вправе обе части неравенства 
разделить на 
В результате получим: 
Решим это неравенство на 
Тогда 
Для таких 
и 
и 
Однако, для таких значений x осталось проверить выполнение условия 
на 
является монотонно возрастающей как сумма двух возрастающих функций: 
и одной неубывающей функции 
Найдем знак функции в точках 
и 
Следовательно, множество 
Отсюда вывод: на промежутке 
функция 
всюду положительна. Таким образом, решениями второго неравенства является множество 
Если нам удастся доказать, что 
то из истинности этого неравенства будет следовать также истинность неравенства 
