Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505890
i

Ре­ши­те си­сте­му си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 1 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те минус 4 мень­ше или равно 0, новая стро­ка 2x плюс 2 боль­ше 0, новая стро­ка x боль­ше минус 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 2, новая стро­ка x боль­ше минус 1, новая стро­ка x боль­ше минус 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус 1 мень­ше x мень­ше или равно 2.

Для таких зна­че­ний x будем иметь:

левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но минус x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 минус 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ства по­лу­чим ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

 

 

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: левая фи­гур­ная скоб­ка 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Вве­дем новую пе­ре­мен­ную t= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , t боль­ше 0. Тогда 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на t, и вто­рое не­ра­вен­ство при­мет вид:

дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на t, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка t минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: t плюс 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 8t, зна­ме­на­тель: 9 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: t плюс 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 8t в квад­ра­те минус 9 левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 9, зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше t мень­ше 1, новая стро­ка t боль­ше или равно 3. конец со­во­куп­но­сти .

По­лу­чи­ли: 0 мень­ше t мень­ше 1, t боль­ше или равно 3. Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x:

0 мень­ше левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1 рав­но­силь­но x мень­ше 0. левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 3 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 3 x боль­ше или равно \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 3.

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Од­на­ко, пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы ока­жет­ся пу­стым, по­сколь­ку \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 3 боль­ше 2. До­ка­жем это:

\log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 3 боль­ше 2 рав­но­силь­но \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 3 боль­ше \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 3 боль­ше дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 3 боль­ше 2,25 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Это с одной сто­ро­ны. С дру­гой же сто­ро­ны, пер­вое не­ра­вен­ство от­ри­ца­тель­ных ре­ше­ний не имеет.

 

Ответ: си­сте­ма ре­ше­ний не имеет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 8
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025