Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C3 № 506034

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка 15 умножить на дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 в степени x минус 3 в степени x конец дроби больше 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x ,  новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка x корень 6 степени из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в степени 6 плюс 2x в квадрате минус 6 правая круглая скобка больше 6.  конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Решим первое неравенство системы. Ограничение на x: x не равно 0.

15 умножить на дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби больше 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 больше 0 равносильно дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 больше 0.

Введем новую переменную. Пусть  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =t,t больше 0. Тогда

 дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка конец дроби минус левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка больше 0 равносильно дробь: числитель: 15 минус 16 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус t конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 15 минус 16 плюс 16t в квадрате , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 16t в квадрате минус 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше 0 равносильно

 

 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше t меньше 1.

Перейдем к переменной x:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 1 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _ дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно 0 меньше x меньше \log _ дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Преобразуем \log _ дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби :

\log _ дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: минус 2, знаменатель: \log _23 минус 2 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 минус \log _23 конец дроби .

Итак, решениями первого неравенства системы является множество  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 минус \log _23 конец дроби правая круглая скобка .

Теперь решим второе неравенство системы.

Укажем некоторые ограничения на x, такие как x больше 0, x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби . Для таких x:

\log _x корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 2x в квадрате минус 6 правая круглая скобка больше \log _x корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка .

Используя метод рационализации, получим:

 левая круглая скобка x корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 2x в квадрате минус 6 минус 3x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус корень из 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс корень из 3 правая круглая скобка больше 0 равносильно

 

 равносильно левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус корень из 3 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений  x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби  x больше корень из 3 конец совокупности . .

Из полученных промежуточных результатов выделим множество значений x, удовлетворяющих условиям: x больше 0 и x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби . Таким множеством будет объединение интервалов  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка и  левая круглая скобка корень из 3; плюс бесконечность правая круглая скобка . Однако, для таких значений x осталось проверить выполнение условия 3x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 2x в квадрате минус 6 больше 0.

Заметим, что функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 2x в квадрате минус 6 на  левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка является монотонно возрастающей как сумма двух возрастающих функций: f_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка ,f_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в квадрате и одной неубывающей функции f_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 6. Найдем знак функции в точках  дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби и  корень из 3:

 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: корень 3 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби минус 6= дробь: числитель: 2, знаменатель: корень 3 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби минус 5 меньше 0.

А это значит, что на множестве  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0. Следовательно, множество  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 6 степени из левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка решениями второго неравенства не является.

f левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка =3 умножить на 27 плюс 2 умножить на 3 минус 6=81 больше 0. Отсюда вывод: на промежутке  левая круглая скобка корень из 3; плюс бесконечность правая круглая скобка функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка всюду положительна. Таким образом, решениями второго неравенства является множество  левая круглая скобка корень из 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Прежде чем найти общее решение обоих неравенств системы, докажем истинность неравенства  дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 минус \log _23 конец дроби больше корень из 3.

Заметим, что 2 больше корень из 3. Если нам удастся доказать, что  дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 минус \log _23 конец дроби больше 2, то из истинности этого неравенства будет следовать также истинность неравенства  дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 минус \log _23 конец дроби больше корень из 3:

 дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 минус \log _23 конец дроби больше 2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 минус \log _23 конец дроби больше 1 равносильно 1 больше 2 минус \log _23 равносильно \log _23 больше 1 равносильно \log _23 больше \log _22 равносильно 3 больше 2 ( неравенство очевидное).

Таким образом, пересечением решений обоих неравенств системы является множество  левая круглая скобка корень из 3; дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус \log _43 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка корень из 3; дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус \log _43 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 32.
Классификатор алгебры: Системы неравенств
Методы алгебры: Введение замены