Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C3 № 505642

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка корень из x плюс 2 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из x плюс 2 конец дроби меньше или равно 3,  новая строка дробь: числитель: 20, знаменатель: x в квадрате минус 7x плюс 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс 1 больше 0.  конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Решим первое неравенство системы. Введем новую переменную. Пусть  корень из x плюс 2=t,t больше 0. Тогда:

t минус дробь: числитель: 4, знаменатель: t конец дроби минус 3 меньше или равно 0 равносильно t в квадрате минус 3t минус 4 меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно t меньше или равно 4.

Поскольку t больше 0, то 0 меньше t меньше или равно 4.

Перейдем к переменной x:

0 меньше корень из x плюс 2 меньше или равно 4 равносильно 0 меньше x плюс 2 меньше или равно 16 равносильно минус 2 меньше x меньше или равно 14.

Решения первого неравенства системы:  левая круглая скобка минус 2;14 правая квадратная скобка .

Решим второе неравенство системы только на множестве  левая круглая скобка минус 2;14 правая квадратная скобка :

 дробь: числитель: 20, знаменатель: x в квадрате минус 7x плюс 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс 1 больше 0 равносильно дробь: числитель: 20, знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс 1 больше 0 равносильно дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 4 конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 больше 0 равносильно

 

 равносильно дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2 плюс x минус 3, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 1 больше 0 равносильно дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 1 больше 0 равносильно

 

 равносильно дробь: числитель: 10x минус 10 плюс x в квадрате минус 7x плюс 12, знаменатель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 3x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно

 

 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше 0.

Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

 

 

Решения второго неравенства системы на множестве  левая круглая скобка минус 2;14 правая квадратная скобка :  левая круглая скобка минус 1;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;14 правая квадратная скобка .

Это же множество есть решения исходной системы.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 1;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;14 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 48.
Методы алгебры: Введение замены