Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505636
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка \left| x минус 1 | плюс \left| x плюс 2 | мень­ше или равно 3, новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 16 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 3, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 3x конец дроби боль­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Пе­ре­фор­му­ли­ру­ем усло­вие так: на чис­ло­вой пря­мой найти все точки, сумма рас­сто­я­ний от ко­то­рых до точек (−2) и (1) не пре­вос­хо­дит 3. Оче­вид­но, что та­ки­ми точ­ка­ми будут точки, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Итак, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства есть мно­же­ство левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка :

левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 16 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 3, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 3x конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 3x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 3x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 16, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 3x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 3x конец дроби боль­ше или равно 0.

За­ме­тим, что x в квад­ра­те плюс 3x плюс 4 боль­ше 0 для всех x при­над­ле­жит R , по­сколь­ку D=9 минус 16 мень­ше 0:

левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 3x конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

За­ме­тим также, что при минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1 будем иметь: x плюс 3 боль­ше 0,x плюс 4 боль­ше 0,x минус 1 мень­ше или равно 0, зна­чит,

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 0, новая стро­ка x=1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше 0, новая стро­ка x=1. конец со­во­куп­но­сти .

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми ис­ход­ной си­сте­мы будет мно­же­ство левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 47
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с мо­ду­ля­ми, Си­сте­мы не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025