Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C3 № 505654

Решите систему неравенств:  система выражений  новая строка \left| 3x плюс 2 | плюс \left| 2x минус 3 | меньше или равно 11,  новая строка дробь: числитель: 7, знаменатель: x в квадрате минус 5x плюс 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 1 меньше 0.  конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первое неравенство отдельно на каждом из промежутков  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ,  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка , так как в точках  минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби и  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби первое и второе подмодульные выражения соответственно обращаются в нуль.

Пусть  меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда \left| 3x плюс 2 |= минус 3x минус 2, \left| 2x минус 3 |=3 минус 2x, неравенство примет вид:

 минус 3x минус 2 плюс 3 минус 2x меньше или равно 11 или  минус 5x меньше или равно 10 равносильно x больше или равно минус 2.

На рассматриваемом промежутке получим часть искомых решений:  левая квадратная скобка минус 2; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

Пусть  минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . Тогда \left| 3 плюс 2 |=3 плюс 2, \left| 2 минус 3 |=3 минус 2, неравенство примет вид: 3 плюс 2 плюс 3 минус 2 меньше или равно 11; меньше или равно 6. На рассматриваемом промежутке получим другую часть искомых решений:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Пусть теперь x больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . Тогда \left| 3x плюс 2 |=3x плюс 2, \left| 2x минус 3 |=2x минус 3, неравенство примет вид:

3x плюс 2 плюс 2x минус 3 меньше или равно 11 равносильно 5x меньше или равно 12 равносильно x меньше или равно дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .

На рассматриваемом промежутке получим третью часть искомых решений:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .

Теперь же объединив все промежуточные результаты, получим решения первого неравенства заданной системы:  левая квадратная скобка минус 2; дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .

Решим второе неравенство заданной системы на промежутке  левая квадратная скобка минус 2; дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка :

 дробь: числитель: 7, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: минус 3 конец дроби плюс 1 меньше 0 равносильно дробь: числитель: 7 плюс 9x минус 18 плюс x в квадрате минус 5x плюс 6, знаменатель: левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x минус 5, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше 0.

Поскольку при x принадлежит левая квадратная скобка минус 2; дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка x плюс 5 больше 0, x минус 3 меньше 0 то на этом множестве  дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: минус 2 конец дроби меньше 0. Далее имеем:

 система выражений  новая строка минус 2 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ,  новая строка дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше 0,  конец системы . равносильно система выражений  новая строка минус 2 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби  новая строка совокупность выражений  x меньше 1 x больше 2 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка минус 2 меньше или равно x меньше минус 1,  новая строка 2 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .  конец совокупности .

 

Решения исходной системы есть множество  левая квадратная скобка минус 2;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .

 

Ответ:  левая квадратная скобка минус 2;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50.