Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505654
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств:  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка \left| 3x плюс 2 | плюс \left| 2x минус 3 | мень­ше или равно 11,  новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 5x плюс 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби плюс 1 мень­ше 0.  конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство от­дель­но на каж­дом из про­ме­жут­ков  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , так как в точ­ках  минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пер­вое и вто­рое под­мо­дуль­ные вы­ра­же­ния со­от­вет­ствен­но об­ра­ща­ют­ся в нуль.

Пусть  мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Тогда \left| 3x плюс 2 |= минус 3x минус 2, \left| 2x минус 3 |=3 минус 2x, не­ра­вен­ство при­мет вид:

 минус 3x минус 2 плюс 3 минус 2x мень­ше или равно 11 или  минус 5x мень­ше или равно 10 рав­но­силь­но x боль­ше или равно минус 2.

На рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке по­лу­чим часть ис­ко­мых ре­ше­ний:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Пусть  минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда \left| 3 плюс 2 |=3 плюс 2, \left| 2 минус 3 |=3 минус 2, не­ра­вен­ство при­мет вид: 3 плюс 2 плюс 3 минус 2 мень­ше или равно 11; мень­ше или равно 6. На рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке по­лу­чим дру­гую часть ис­ко­мых ре­ше­ний:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Пусть те­перь x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда \left| 3x плюс 2 |=3x плюс 2, \left| 2x минус 3 |=2x минус 3, не­ра­вен­ство при­мет вид:

3x плюс 2 плюс 2x минус 3 мень­ше или равно 11 рав­но­силь­но 5x мень­ше или равно 12 рав­но­силь­но x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

На рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке по­лу­чим тре­тью часть ис­ко­мых ре­ше­ний:  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Те­перь же объ­еди­нив все про­ме­жу­точ­ные ре­зуль­та­ты, по­лу­чим ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства за­дан­ной си­сте­мы:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство за­дан­ной си­сте­мы на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка :

 дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: минус 3 конец дроби плюс 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7 плюс 9x минус 18 плюс x в квад­ра­те минус 5x плюс 6, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 4x минус 5, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше 0.

По­сколь­ку при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка x плюс 5 боль­ше 0, x минус 3 мень­ше 0 то на этом мно­же­стве  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: минус 2 конец дроби мень­ше 0. Далее имеем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,  новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби мень­ше 0,  конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби  новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  x мень­ше 1 x боль­ше 2 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше минус 1,  новая стро­ка 2 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .  конец со­во­куп­но­сти .

 

Ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы есть мно­же­ство  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 50
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с мо­ду­ля­ми, Си­сте­мы не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: