PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции 
не меньше 1.
Решение. Снимем модуль, получим:
Функция f определена и непрерывна на всей вещественной оси, ее график состоит из частей двух парабол, ветви которых направлены вниз. Рассмотрим оба случая.
Если 
то 
Этот квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом принимает максимальное значение при 
Находим:
Найденное значение должно быть не меньше 1, откуда 
При таких значениях параметра для 
выполнено условие 
Если 
то 
Этот квадратный трехчлен принимает наибольшее значение в точке 
Находим:
Найденное значение должно быть не меньше 1, откуда 
При таких значениях параметра для 
выполнено условие 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле, 
Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения 
Поскольку 
это уравнение равносильно совокупности
Эта совокупность имеет решения если 
или если 
то есть при 
или 
Ответ:
Приведем еще одно решение.
Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к минус бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наибольшего значения. Тогда для того, чтобы наибольшее значение функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы неравенство 
имело решение. Запишем его в виде
и построим графики левой и правой частей неравенства.
График правой части неравенства — парабола, полученная из параболы, задаваемой уравнением 
сдвигом на 1 вверх вдоль оси ординат. График правой части неравенства получается сдвигом графика функции 
сдвигом на |a| единиц вдоль оси абсцисс вправо или влево в зависимости от знака a.
Пусть при 
правая ветвь графика модуля касается параболы, а при 
— левая (см. рис.). Тогда при 
парабола целиком лежит выше графика модуля и неравенство не имеет решений. При прочих значениях параметра неравенство имеет решения, поэтому осталось установить значения, соответствующие касанию.
При 
в силу равенства 
получаем уравнение 
или 
Случаю касания соответствует единственное решение этого уравнения, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю: 
откуда 
Аналогично для 
получаем уравнение 
откуда находим 
или 
Тем самым,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
то есть на отрезке 
функция имеет вид
Возможное расположение этих парабол показано на рисунках.
принадлежит отрезку 
то наименьшее значение функция может принимать только в точках 
и 
Если 
— то в точке 
больше 
тогда и только тогда, когда:
либо 
или 
и 
Имеем:
верно для всех х. 
и запишем неравенство в виде
а на этом отрезке является отражением лежащей ниже оси абсцисс части этой параболы в верхнюю полуплоскость (см. рис.).
и параболы 
Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения 
касание происходит именно с графиком функции 
а не с лежащей ниже оси абсцисс частью параболы 
Рассмотрим прямую p, проходящую через точки с координатами (0; −24) и (5; 0). Определим ее угловой коэффициент: 
Сравним угловые коэффициенты k1 и k2:
а потому справа от общей точки (0; −24) касательная проходит ниже прямой p и, значит, касается параболы в точке лежащей выше оси абсцисс. Тем самым подходят все значения k такие, что: 
Возвращаясь к параметру a, получаем: 
не менее 6.
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты 
Значит, минимум функции 
если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в точке 
и 
что удовлетворяет условию задачи.
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек 
в которых значение функции не меньше 6.
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в точке 
что не удовлетворяет условию задачи.
поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1): 
тогда 
при этом, если x — целое, то y — также целое число.
Построим график функции 
при 
является решением неравенства при некотором a, то все 
также являются решениями.
то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: 
Следовательно, 
и, стало быть, 
Значит, должно выполняться двойное неравенство: 
откуда 
Второе неравенство выполняется при всех 
есть ровно одно целое число.
при любом a имеет решение 
Значит, при любом a одно из значений функции равно 1.
содержит отрезок 
и заметим, что для любого значения параметра а знаменатель положителен при всех значениях переменной x. Следовательно, заданная функция непрерывна, и тогда отрезок [0; 1] лежит во множестве ее значений тогда и только тогда, когда уравнения 
и 
имеют решения.
оно имеет решение при любом 
Оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
окончательно имеем: 
или 
имеет менее трех различных корней.
или 
то 
и 
то 
и 
состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение 
или 
то есть при 
График функции 
или 
то 
и 
то 
и 
Соответствующие значения функции g равны:
меньше 2.
разбивают действительную ось на промежутки, в каждом из которых графиком данной функции является часть некоторой параболы. Заметим, что при 
значения данной функции неограниченно возрастают. Следовательно, свое наименьшее значение данная функция принимает в одной из точек (или в нескольких этих точках) 
где 
— абсциссы вершин тех парабол, ветви которых направлены вверх.
и 
или 
и 
Абсциссы их вершин соответственно 
меньше 2 тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из неравенств: 
поэтому получаем совокупность неравенств:
получаем 
но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют.
и 
больше −2.
стоящее под знаком модуля выражение отрицательно, а задающее функцию выражение является квадратным трехчленом с положительным старшим коэффициентом:
стоящее под знаком модуля выражение положительно, а задающее функцию выражение является квадратным трехчленом с отрицательным старшим коэффициентом:
то наибольшее значение функции будет достигаться или в точке 4, или в точке 6. В остальных случаях наибольшее значение функции будет достигаться в точке 
Значит, наибольшее значение функции будет больше −2 при выполнении следующих условий (⁎):
или 
имеет ровно два экстремума на промежутке (−2; 3).
тогда
тогда 
Найдем нули производной: 
содержит промежуток 
При каждом таком а укажите множество значений функции 
тогда и только тогда, когда уравнения 
и 
будут иметь решения. Рассмотрим эти уравнения:
Для этого рассмотрим данное равенство как уравнение с переменной х и параметром 
множество значений: 
пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит через точку А. Найдите а, b и с, если площадь треугольника AMN равна 1.
Но тогда: 
в точке (x2; 0). Это уравнение имеет вид: 
или 
где 
и 
Но тогда
то неравенство не выполняется, например, при 
то 
при всех t из отрезка 
и 
поэтому нужно, чтобы 
то 
при всех t из отрезка 
поэтому нужно, чтобы 
или 
на отрезке [−1; 3] не меньшее, чем −5.
должно выполняться на всем промежутке 
То есть
(верно при 
),
(верно при 
),
(верно при 
).
при 
то есть при 
(нас не интересует, поскольку уже установлено, что 
при 
то есть при 
(то есть это обязательно надо проверить, при 
Это означает, что, например, множество значений функции на отрезках 
и 
совпадают. Но это невозможно для убывающей функции.
Выделим целую часть:
имеем 
то есть график функции имеет горизонтальную асимптоту y = – 12. Но в то же время 
что невозможно для убывающей функции.
при каждом из которых наименьшее значение функции 
на отрезке 
принимает наименьшее значение.
то производная имеет вид 
корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок 
то 
а 
не лежит на отрезке 
В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:
)
(**)
то производная имеет вид 
Отрезок 
на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).
то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений 
и 
Имеем:
то 
а 
не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если 
то функция убывает на 
и на 
Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно
функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка 
верно равенство 
достаточно найти наименьшее значение функции 
на промежутке 
являются числа 
и 
На интервале 
значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень 
производная 
отрицательна, на интервале 
положительна. Следовательно, функция 
убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наименьшее значение 
на отрезке 
достигается в точке 
Такое же наименьшее значение 
принадлежащей отрезку 
и 
имеет ровно два неотрицательных решения.
тогда исходное уравнение записывается в виде 
и 
разбивают плоскость на 4 области. Выражение 
положительно в областях 
положительно в областях 
График функции — парабола с вершиной в точке 
ветви которой направлены вниз. 
График функции — парабола с вершиной в точке 
ветви которой направлены вниз. 
График функции — парабола с вершиной в точке 
ветви которой направлены вверх.
График функции — парабола с вершиной в точке 
ветви которой направлены вверх. 
ровно две точки пересечения с построенным графиком уравнения при 
(выделено красным).
строить график уравнения имеет смысл только в первой и четвертой координатных четвертях и исключенной точкой О(0; 0). Это наблюдение позволяет заметно сократить решение.
содержит отрезок 
тогда 
причем 
Пусть, далее, 
тогда 
и 
Обозначим, наконец, 
и заметим, что в силу неотрицательности b справедливо неравенство 
Исходная задача свелась к следующей: необходимо найти все значения параметра с, при каждом из которых множество значений функции 
при 
содержит отрезок [2; 3].
неотрицательна при 
а значит, знаменатель дроби не меньше 1. Следовательно, функция 
непрерывна, а тогда отрезок [2; 3] лежит во множестве ее значений тогда и только тогда, когда уравнения 
и 
имеют решения, удовлетворяющие условию 
справедливы оценки: 
Тем самым, свободные члены квадратных трехчленов 
и 
отрицательны, а значит, их графики пересекают ось ординат в точках с отрицательной абсциссой. Ветви соответствующих парабол направлены вверх, их вершины лежат ниже оси абсцисс на прямых 
и 
соответственно. Из этого следует, что указанные параболы будут пересекать отрезок 
оси абсцисс хотя бы в одной точке тогда и только тогда, когда 
и 
одновременно. Имеем:
откуда 
имеет 4 решения, где f — четная периодическая функция с периодом 
определенная на всей числовой прямой, причем 
если 
то функция 
единственную общую точку.
График функции 
есть при всех a. Нужно ещё ровно три решения. Единственный возможный случай показан на рисунке: график функции 
(изображен красным) проходит через точку A
Составим уравнение:
График функции 
Составим уравнение:
или 
Функция f непрерывна, а ее производная 
положительна при любом случае раскрытия модулей. Следовательно, функция f возрастает. Тогда и вся левая часть заданного неравенства возрастает функцией как сумма возрастающих функций. Поэтому неравенство будет выполняться для всех значений x из отрезка [−2; 1] тогда и только тогда, когда оно выполнено в точке x = 1. Имеем:
можно решить графически. Обозначим левую часть неравенства 
построим график функции 
и отметим, что эта функция принимает наименьшее значение в точке 
причем 
Во всех остальных точках 
Следовательно, 
— 
действительных чисел u и 
выполнено неравенство
Имеем:
и a рассмотрим левую часть как функцию от x:
и 
модули раскроются по-разному. При этом на каждом участке непрерывная функция f(x) будет линейной с угловым коэффициентом 
Какова бы ни была комбинация знаков, 
Следовательно, f(x) монотонно возрастает. Поэтому неравенство 
выполняется при всех 
если и только если 
то есть меньших, чем наименьшее из чисел 
и 
функция 
— возрастающая линейная с угловым коэффициентом 
При больших 
то есть больших, чем максимум из тех же чисел,
— убывающая линейная функция с угловым коэффициентом 
(см. рис.). Поэтому функция 
принимает наибольшее значение в одной из точек 
или 
Неравенство 
выполняется при всех 
и 
Получаем:
модуль раскрывается «со знаком минус»: 
На отрезке [1; 3] график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. 
или 
модуль раскрывается «со знаком плюс»: 
График функции на этих лучах представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина этой параболы может лежать левее отрезка [1; 3], правее этого отрезка или на самом отрезке. Рассмотрим эти случаи.
и 
то есть если 
Оно равно:
получаем: 
а наименьшее значение функции достигается на концах отрезка. Найдем 
и 
Наименьшее значение функции может быть меньше −2, только если 
то есть при 
Учитывая ограничения на a, получаем: 
имело решение. Запишем его в виде
прямой 
должен быть больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (3; 0). Имеем: 
в виде 
и найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: 
Парабола имеет с касательной единственную общую точку, поэтому касанию соответствует дискриминант, равный нулю, откуда a = 0 или a = 4. Подходит только положительный корень, соответствующий отрицательному угловому коэффициенту прямой.
аналогичная переформулировка не будет равносильна изначальной задаче. 
перепишем уравнение в виде:
а 
Дальнейшие рассуждения свяжем с соотношением
существует корень квадратного трёхчлена 
принадлежащий отрезку [−1; 1]?
имеет корни только в случае, когда 
где 
— абсцисса вершины параболы — графика рассматриваемого трёхчлена, с учётом того, что 
приходим к рассмотрению неравенства
то так как 
для 
будет выполняться при всех 
Следующий шаг в решении задачи состоит в том, чтобы среди найденных значений параметра b, при которых существуют корни уравнения 
и 
то 
и поэтому хотя бы один корень квадратного трёхчлена 
графиком которой является гипербола, принимает наименьшее своё значение на отрезке [1; 2], равное 
при 
и поэтому 
либо 
При 
равенство 
При 
равенство 
Но у нас 
и, таким образом, значение 
имеет не более двух экстремумов на промежутке 
то 
Значит, уравнение 
даёт две критические точки на заданном интервале. Рассмотрим четыре возможных случая.
или 
то уравнение 
не имеет корней на заданном интервале. Тогда функция 
или 
то уравнение 
Тогда функция 
то корни уравнения 
то уравнение 
при 
на отрезке [−1; 0] не превышает единицы и достигается на левом конце отрезка.
квадратный трехчлен в скобках имеет два корня различных знаков, следовательно, у исходной функции три экстремума: две точки максимума при x < 0 и x > 0, а также точка минимума при x = 0.
на отрезке 
возрастает, значит, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точке 
— на левом конце отрезка, и равно 
что удовлетворяет условию задачи.
получаем, что 
Тогда 
при 
и 
при 
а 
Условие задачи будет выполнено если 
то есть при 
Найдём соответствующие значения параметра a:
получаем, что 
Тогда 
и 
а 
Условие задачи будет выполнено если 
то есть при 
Найдём соответствующие значения параметра a:
не больше расстояния между точками экстремума функции 
найдем модуль их разности:
найдём при помощи производной:
являются точками экстремума функции 
расстояние между ними равно
и 
ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.
и 
и 
Эти линии не ограничивают никакой многоугольник.
и 
поэтому должно выполняться неравенство 
откуда a < 4. Одна из сторон этого треугольника параллельна оси абсцисс. Чтобы найти ее длину, определим абсциссы точек пересечения линий: 
откуда находим:
и 
откуда 
(см. рис. 2). Абсциссы точек пересечения линий найдем из уравнения 
получим: 
записывается в виде
или 
на отрезке [−1; 1] имеет только одну точку минимума.
принимает вид 
и имеет единственный корень 
лежащий на заданном отрезке. При этом в точке x = 0 производная меняет знак с минуса на плюс, а потому это точка минимума, в точке 
производная меняет знак с плюса на минус, а потому это точка максимума. Следовательно, a = 0 подходит.
уравнение 
то есть при 
имеет единственный корень 
В точке x = 0 производная меняет знак с минуса на плюс, а потому это точка минимума, в точке 
производная не меняет знака, а потому это не точка экстремума. Таким образом, значения 
подходят.
Тогда уравнение 
и 
причем 
и потому 0 и 
являются точками минимума, а 
является точкой максимума. Чтобы отрезку [−1; 1] принадлежала лишь одна точка минимума, необходимо и достаточно выполнения неравенства 
откуда 
то есть 
Полученное неравенство обращается в равенство при 
причем левая часть неравенства убывает на ОДЗ, а правая — возрастает. Следовательно, решениями неравенства являются значения параметра, для которых 
Учитывая, что 
заключаем, что подходят все а такие, что 
или 
Точка 0 является точкой минимума, точка 
является точкой максимума.
уравнение уравнение 
и 
что невозможно для положительных а, либо 
откуда 
Левая часть неравенства убывает на интервале 
правая — возрастает, число 
обращает неравенство в верное числовое равенство, поэтому неравенство верно при 
кратности 2, в этой точке производная не меняет знак, а потому это не точка экстремума. Кроме того, производная обращается в нуль при x = 0, это точка минимума.
или при 
система не имеет решений;
решением системы является интервал 
значит, в область определения исходной функции не входят целые числа;
система не имеет решений;
решением системы является интервал 
поэтому в область определения исходной функции входит не более одного целого числа;
система не имеет решений;
решением системы является интервал 
функция принимает вид 
а при 
функция принимает вид 
является чётной функцией. Рассмотрим её на промежутке 
На этом промежутке 
Тогда её производная 
Стационарная точка 
является точкой минимума. Функция убывает на 
и неограниченно возрастает на 
При этом 
имеем
и 
уравнение 
имеет ровно четыре решения.
Для того, чтобы уравнение 
был больше наименьшего значения квадратичной функции 
достигается при 
а потому является наименьшим значением функции 
имеет хотя бы один корень, если 
в равенство из условия, получаем:
на 
ещё раз, имеем:
при всех x. Положим 
Для отрицательных x функция f возрастает, так как при любом раскрытии модулей коэффициент при x положительный. Для неотрицательных x функция f убывает, поскольку при любом раскрытии модулей коэффициент при x отрицательный. Значит, 
может иметь корни, только если 
и 
и ветвями, направленными вверх и вниз. Прямая, перпендикулярная оси ординат, может иметь одну, две или три общие точки с графиком такой функции. Если найдётся прямая 
которая имеет три общие точки, то хотя бы одна из прямых 
или 
будет иметь ровно две общие точки. 
Следовательно, искомые значения параметра задаются системой неравенств:
меньше 1.
получаем, что 
График этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы, ветви которой направлены вверх, и осью симметрии 
При 
находим 
а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.
или 
то второе неравенство принимает вид 
откуда 
или
Эти промежутки не содержат полуинтервал 
Если 
то 
откуда 
или
Значит, 
Таким образом, 
или 
и 
больше 6, но не больше 12.
и не ограничивают имеющую площадь фигуру. Найдем абсциссы точек пересечения графиков для 
График 
а график 
— в точке 
График 
или 
