Пусть точки x₁ и x₂  — абс­цис­сы точек N и M со­от­вет­ствен­но (см. рис.)

Оче­вид­но, что вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства:

Из по­след­не­го ра­вен­ства:

Так как гра­фик функ­ции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абс­цисс, то либо x₁, либо x₂ будет кор­нем крат­но­сти 2. Ко­рень x₂ та­ко­вым быть не может, ибо в про­тив­ном слу­ча­ет ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) в точке M была бы па­рал­лель­ной оси Ох или сов­пасть с ней, что ис­клю­ча­ет про­хож­де­ние этой ка­са­тель­ной через точку А. Сле­до­ва­тель­но, кор­нем крат­но­сти 2 яв­ля­ет­ся ко­рень x₁.

Зна­чит, Но тогда:

Те­перь со­ста­вим урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции в точке (x₂; 0). Это урав­не­ние имеет вид: или где

Итак, урав­не­ние ка­са­тель­ной:

По усло­вию за­да­чи из­вест­но, что та же ка­са­тель­ная про­хо­дит через точку A(0; c). Зна­чит, ко­ор­ди­на­ты точки А удо­вле­тво­ря­ют по­лу­чен­но­му урав­не­нию. Тогда имеем:

Но в со­от­вет­ствии с ра­вен­ством (*) по­лу­чим:

x₂ ≠ 0, по­это­му a  =  −2x₂.

Это  — с одной сто­ро­ны. С дру­гой сто­ро­ны, как было по­ка­за­но выше: a  =  −2x₁ − x₂, сле­до­ва­тель­но,

Те­перь ис­поль­зу­ем ранее по­лу­чен­ные ра­вен­ства: и

S(AMN)  =  1, по­это­му

Из по­след­не­го ра­вен­ства ясно, что x₁ > 0. Если это так, то Но тогда

Ответ: a  =  −4, b  =  5, c  =  −2.