СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 512653

График функции пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит  через точку А. Найдите а, b и с, если площадь треугольника AMN равна 1.

Решение.

Пусть точки x1 и x2 — абсциссы точек N и M соответственно (см. рис.)

Очевидно, что выполняются равенства:

Из последнего равенства:

 

Так как график функции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абсцисс, то либо x1, либо x2 будет корнем кратности 2. Корень x2 таковым быть не может, ибо в противном случает касательная к графику функции f(x) в точке M была бы параллельной оси Ох или совпасть с ней, что исключает прохождение этой касательной через точку А. Следовательно, корнем кратности 2 является корень x1.

 

Значит, Но тогда:

 

 

Теперь составим уравнение касательной к графику функции в точке (x2; 0). Это уравнение имеет вид: или где

Итак, уравнение касательной:

По условию задачи известно, что та же касательная проходит через точку A(0; c). Значит, координаты точки А удовлетворяют полученному уравнению. Тогда имеем:

Но в соответствии с равенством (*) получим:

Так как x2 ≠ 0, то a = −2x2.

Это — с одной стороны. С другой стороны, как было показано выше: a = −2x1 − x2, следовательно,

Теперь используем ранее полученные равенства: и

Так как S(AMN) = 1, то:

Из последнего равенства ясно, что x1 > 0. Коли это так, то: Но тогда:

 

Ответ: a = −4, b = 5, c = −2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Функции, зависящие от параметра, Функции, зависящие от параметра