Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции 
не меньше 1.
Снимем модуль, получим:
Функция f определена и непрерывна на всей вещественной оси, ее график состоит из частей двух парабол, ветви которых направлены вниз. Рассмотрим оба случая.
Если 
то 
Этот квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом принимает максимальное значение при 
Находим:
Найденное значение должно быть не меньше 1, откуда 
При таких значениях параметра для 
выполнено условие 
Если 
то 
Этот квадратный трехчлен принимает наибольшее значение в точке 
Находим:
Найденное значение должно быть не меньше 1, откуда 
При таких значениях параметра для 
выполнено условие 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле, 
Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения 
Поскольку 
это уравнение равносильно совокупности
Эта совокупность имеет решения если 
или если 
то есть при 
или 
Ответ:
Приведем еще одно решение.
Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к минус бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наибольшего значения. Тогда для того, чтобы наибольшее значение функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы неравенство 
имело решение. Запишем его в виде
и построим графики левой и правой частей неравенства.
График правой части неравенства — парабола, полученная из параболы, задаваемой уравнением 
сдвигом на 1 вверх вдоль оси ординат. График правой части неравенства получается сдвигом графика функции 
сдвигом на |a| единиц вдоль оси абсцисс вправо или влево в зависимости от знака a.
Пусть при 
правая ветвь графика модуля касается параболы, а при 
— левая (см. рис.). Тогда при 
парабола целиком лежит выше графика модуля и неравенство не имеет решений. При прочих значениях параметра неравенство имеет решения, поэтому осталось установить значения, соответствующие касанию.
При 
в силу равенства 
получаем уравнение 
или 
Случаю касания соответствует единственное решение этого уравнения, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю: 
откуда 
Аналогично для 
получаем уравнение 
откуда находим 
или 
Тем самым,
График функции -- парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение она принимает в вершине параболы при f`(x)=0. Рассмотрим 2 случая: когда x≥a и x<a:
1) f(x)=x-a-x²
f`(x)=-2x+1
f`(x)=0 при x=1/2
fmax=f(1/2)=1/2-a-(1/2)²=1/4-a
fmax≥1 1/4-a≥1 a≤-3/4 x≥a
2) f(x)=-x+a-x²
f`(x)=-2x-1
f`(x)=0 при x=-1/2
fmax=f(1/2)=1/2+a-(1/2)²=1/4+a
fmax≥1 1/4+a≥1 a≥3/4 x<a
Ответ: a≤-3/4 a≥3/4
По-моему, более рациональное решение.
Написали в таком ключе. Спасибо.
Более короткое решение.
При раскрытии модуля мы рассматриваем две параболы, ветвями вниз, абсциссы вершин которых 0,5 и -0,5. ООФ — любое число, функция непрерывна. Значит, наибольшее значение функция принимает в одной из этих вершин. При этом f(0)=|a|>=0. Заметим, что при любом значении а значение в одной из вершин равно |a|+0,25. Значит, условие задачи выполняется, если |a|+0,25>=1. Что и даёт ответ, совпадающий с авторским.
К этому решению есть вопросы. Почему когда в одной вершине значение значение |a|+0,25 в другой не больше? Зачем в решении найдено значение f(0)?