Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 511249

Найдите все а, при каждом из которых функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3ax в квадрате плюс 3a в квадрате x минус 3|x| плюс 3 имеет ровно два экстремума на промежутке (−2; 3).

Спрятать решение

Решение.

Заданная функция определена и непрерывна в каждой точке интервала (−2; 3).

На интервале (−2; 0) имеем: f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3ax в квадрате плюс 3a в квадрате x плюс 3x плюс 3, тогда

f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 6ax плюс 3a в квадрате плюс 3=3 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс 3 больше 0,

поэтому функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка на (−2; 0) монотонно возрастает, и, следовательно, экстремумов не имеет.

Рассмотрим теперь промежуток [0; 3). На нем f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3ax в квадрате плюс 3a в квадрате x минус 3x плюс 3, тогда f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 6ax плюс 3a в квадрате минус 3. Найдем нули производной:

3x в квадрате минус 6ax плюс 3a в квадрате минус 3=0 равносильно x в квадрате минус 2ax плюс a в квадрате минус 1=0 равносильно левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате минус 1=0 равносильно совокупность выражений  новая строка x минус a= минус 1 , новая строка x минус a=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x=a минус 1 , новая строка x=a плюс 1 . конец совокупности .

 

Рассматриваемая функция в точке 0 экстремум может иметь, может и не иметь (см. ниже).

Случай 1. Если в точке 0 экстремума нет, то обе точки экстремума обязаны принадлежать интервалу (0; 3), то должна быть совместна система:

 система выражений  новая строка a минус 1 больше 0 , новая строка a плюс 1 меньше 3 конец системы . равносильно 1 меньше a меньше 2.

Случай 2. Если 0 — точка экстремума, то функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка должна иметь на интервале (0; 3) ровно одну точку экстремума. Тогда либо

 система выражений  новая строка a минус 1 меньше или равно 0 , новая строка 0 меньше a плюс 1 меньше 3 конец системы . равносильно минус 1 меньше a меньше или равно 1,

либо

 система выражений  новая строка 0 меньше a минус 1 меньше 3, новая строка a плюс 1 больше или равно 3 конец системы . равносильно 2 меньше или равно a меньше 4.

Осталось выяснить, при каких значениях параметра точка 0 является точкой экстремума, а при каких нет.

Заданная функция непрерывна, и она возрастает на (−2; 0). Для любого a из (−1; 1] найдется интервал (0; m), на котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка убывает. В этом случае точка 0 является точкой максимума. Для любого a не лежащего на (−1; 1] найдется интервал (0; m) на котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка возрастает. В этом случает точка 0 не является точкой экстремума. Тем самым, во втором случае искомыми являются только такие значения a, что  минус 1 меньше a меньше или равно 1.

Объединяя случаи 1 и 2, получаем:  минус 1 меньше a меньше 2.

Дополнительно отметим, что при a из [2; 4) функция имеет один экстремум на (−2; 3) и не имеет экстремумов при прочих значениях параметра.

 

Ответ: (−1; 2).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126.