Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 653517
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 4 a x плюс |x в квад­ра­те минус 8 x плюс 7| мень­ше 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При x в квад­ра­те минус 8x плюс 7 боль­ше или равно 0 по­лу­ча­ем, что f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 2a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 7. Гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, и осью сим­мет­рии x=4 минус 2a. При x в квад­ра­те минус 8x плюс 7 мень­ше 0 на­хо­дим f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 4a плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 7, а гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке  — часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

Воз­мож­ные виды гра­фи­ка функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка по­ка­за­ны на ри­сун­ках.

Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка может при­нять толь­ко в точ­ках x=1, x=7 или x=4 минус 2a. По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1 тогда и толь­ко тогда, когда

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1,  новая стро­ка f левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1,  новая стро­ка f левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка 4a мень­ше 1,  новая стро­ка 28a мень­ше 1,  новая стро­ка 4a левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс |4a в квад­ра­те минус 9| мень­ше 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  новая стро­ка 8a в квад­ра­те минус 16a плюс 1 минус |4a в квад­ра­те минус 9| боль­ше 0. конец со­во­куп­но­сти .

Если  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то вто­рое не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид  3a в квад­ра­те минус 4a минус 2 боль­ше 0, от­ку­да  a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 3 илиa боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 3. Эти про­ме­жут­ки не со­дер­жат по­лу­ин­тер­вал  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Если a боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то 2a в квад­ра­те минус 8a плюс 5 боль­ше 0, от­ку­да  a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4 минус ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби илиa боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4 плюс ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Зна­чит,  a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4 плюс ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Таким об­ра­зом, a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби или a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4 плюс ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 плюс ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 452
Классификатор алгебры: Рас­по­ло­же­ние кор­ней квад­рат­но­го трех­чле­на, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев