Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 525245

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус a минус 1 плюс |x в квадрате минус 4x плюс 3|

меньше −2.

Спрятать решение

Решение.

При 1 меньше или равно x меньше или равно 3 модуль раскрывается «со знаком минус»: f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка x минус a минус 4. На отрезке [1; 3] график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз.

При x\leqslant1 или x\geqslant3 модуль раскрывается «со знаком плюс»: f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x минус a плюс 2. График функции на этих лучах представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина этой параболы может лежать левее отрезка [1; 3], правее этого отрезка или на самом отрезке. Рассмотрим эти случаи.

Если x_в\leqslant1 и x_в\geqslant3, то есть, если

 совокупность выражений минус дробь: числитель: a минус 4, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant3, минус дробь: числитель: a минус 4, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant1, конец совокупности . равносильно совокупность выражений a минус 4\leqslant минус 6,a минус 4\geqslant минус 2, конец совокупности . равносильно совокупность выражений a\leqslant минус 2,a\geqslant2, конец совокупности .

то наименьшее значение функции достигается в вершине, абсцисса которой  дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби . Оно равно:

 левая круглая скобка дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус a плюс 2= дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус a правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус a правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус a плюс 2= минус дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус a правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус a плюс 2=

= минус дробь: числитель: 16 минус 8a плюс a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус a плюс 2= минус 2 плюс a минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби .

По условию требуется, чтобы наименьшее значение было меньше −2:

 минус 2 плюс a минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби меньше минус 2 равносильно a минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби меньше 0 равносильно a в квадрате минус 4a больше 0 равносильно a левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений a больше 4,a меньше 0. конец совокупности .

С учетом того, что a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2, плюс бесконечность правая круглая скобка , получаем: a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .

Осталось рассмотреть случай, когда вершина параболы, ветви которой направлены вверх, лежит на отрезке [1; 3]. В этом случае параметр a принадлежит левая квадратная скобка минус 2;2 правая квадратная скобка , а наименьшее значение функции достигается на концах отрезка. Найдем f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 1, и f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =2a минус 1. Наименьшее значение функции может быть меньше −2 только если 2a минус 1 меньше минус 2, то есть при a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Учитывая ограничения на a, получаем:  минус 2 меньше или равно a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Объединяя найденные значения параметра, получаем ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

 

 

Приведем другое решение.

Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наименьшего значения. Тогда для того, чтобы наименьшее значение функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус a минус 1 плюс |x в квадрате минус 4x плюс 3| было меньше −2, необходимо и достаточно, чтобы неравенство f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше минус 2 имело решение. Запишем его в виде

|x в квадрате минус 4x плюс 3| меньше минус a левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 1

и построим графики левой и правой частей неравенства.

График левой части неравенства — парабола (см. рис.), пересекающая ось абсцисс в точках 1 и 3, с отражённой относительно оси абсцисс отрицательной частью. График правой части неравенства — пучок прямых, проходящих через точку (1; −1).

Нетрудно заметить, что неравенство имеет решения, когда графики имеют более одной точки пересечения. То есть когда прямая проходит выше точки (3; 0) или выше точки касания с параболой на луче (−∞; 1].

В первом случае угловой коэффициент  минус a прямой y= минус a левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 1 должен быть больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (3; 0). Имеем:  минус a левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка минус 1 больше 0 равносильно a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Во втором случае запишем уравнение  минус a левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 1=x в квадрате минус 4x плюс 3 в виде x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x минус a плюс 4=0 и найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:  D= левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка a. Парабола имеет с касательной единственную общую точку, поэтому касанию соответствует дискриминант, равный нулю, откуда a = 0 или a = 4. Подходит только положительный корень, соответствующий отрицательному угловому коэффициенту прямой.

Таким образом, получаем ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

 

Примечание Льва Бреслава (Санкт-Петербург).

Во втором решении ссылка на то, что функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности является существенной. Например, для внешне очень похожей функции g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате минус a минус 1 плюс |x в квадрате минус 4x плюс 3| аналогичная переформулировка не будет равносильна изначальной задаче.

 

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Полностью соглашаясь с предыдущим замечанием, отметим, что на ЕГЭ снижать оценку ученику за отсутствие указанного обоснования неправильно. Смоленская комиссия ЕГЭ в 2019 году оценила второе решение одним баллом из четырёх, объяснив на апелляции, что решающий должен явно показать, что рассматриваемая им функция достигает наименьшего значения. Работа была перепроверена Рособрнадзором, принявшим решение о выставлении полного балла. Подробности этой истории подробно описаны Дмитрием Гущиным здесь, ряд интересных комментариев есть здесь.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получены все значения a, но в ответ ошибочно включены одна или обе граничные точки3
С помощью верного рассуждения получены не все значения a2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически)1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0

Аналоги к заданию № 525245: 525143 Все

Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2019
Методы алгебры: Перебор случаев