Найдите значения a, при каждом из которых линии 
и 
ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.
Параллельным переносом на две единицы вправо получим линии
и 
Вид фигур и их площадь при сдвигах не меняется.
Случай 1. При a = 0 получаем уравнения горизонтальных прямых 
и 
Эти линии не ограничивают никакой многоугольник.
Случай 2. Пусть a > 0, получаем уравнения
и
Линии, заданные этими формулами, ограничивают треугольник, тогда и только тогда, когда вершина графика модуля лежит ниже горизонтальной прямой (см. рис. 1). Вершина имеет координаты 
поэтому должно выполняться неравенство 
откуда a < 4. Одна из сторон этого треугольника параллельна оси абсцисс. Чтобы найти ее длину, определим абсциссы точек пересечения линий:
Обозначим длину стороны b, а длину проведенной к ней высоты — h. Тогда:
Найдем площадь треугольника:
Требуется, чтобы 
откуда находим:
C учетом условия 0 < a < 4, получаем: 
Случай 3. Пусть a < 0. Получаем уравнения
и
Эти линии ограничивают треугольник, если вершина графика модуля лежит над горизонтальной прямой, то есть тогда и только тогда, когда 
откуда 
(см. рис. 2). Абсциссы точек пересечения линий найдем из уравнения 
получим:
Площадь полученного в этом случае треугольника равна:
Неравенство 
записывается в виде
C учетом условия имеем 
Объединяя полученные результаты, находим: 
или
Ответ: или
Из условия непонятно, учитывать ли случаи, когда многоугольник не существует. То есть, считать ли площадь несуществующего многоугольника равной 0. В зависимости от этого получаются разные ответы.
Эти случаи рассмотрены. В рамках школьного подхода несуществующая фигура не обладает никакими свойствами, и, в частности, не имеет площади. Во всех остальных случаях многоугольник существует и для него получен ответ.
Если же подход нешкольный, то элементы пустого множества обладают любыми наперед заданными свойствами. Но тогда нет оснований утверждать, что несуществующая фигура имеет именно нулевую площадь. Возможно, она имеет отрицательную площадь, красную площадь или даже ромашковый объём.