Наи­мень­шее зна­че­ние эта функ­ция при­ни­ма­ет либо в нулях про­из­вод­ной, либо в одном из кон­цов от­рез­ка. Най­дем про­из­вод­ную:

по­это­му нули про­из­вод­ной равны

Если то про­из­вод­ная имеет вид корни про­из­вод­ной суть числа 0 и −1. От­ре­зок ста­но­вит­ся от­рез­ком [0; 1], на нем функ­ция f воз­рас­та­ет. Наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка. (*)

Если то а не лежит на от­рез­ке В этом слу­чае имеем сле­ду­ю­щее рас­по­ло­же­ние зна­ков про­из­вод­ной:

Ин­тер­вал	(		()
знак	+	−	+

Наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ция до­сти­га­ет либо на левой гра­ни­це от­рез­ка, либо в точке (**)

Если то про­из­вод­ная имеет вид От­ре­зок ста­но­вит­ся от­рез­ком на нем функ­ция лежит един­ствен­ный ко­рень про­из­вод­ной  — число 0. Это точка мак­си­му­ма, по­это­му наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся или на левой гра­ни­це от­рез­ка, или на пра­вой гра­ни­це. Эти зна­че­ния равны, будем счи­тать, что наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це (***).

Объ­еди­няя слу­чаи (*), (**) и (***) по­лу­ча­ем, что если то ее наи­мень­шее зна­че­ние равно наи­мень­ше­му из зна­че­ний и Имеем:

Рас­смот­рим раз­ность най­ден­ных зна­че­ний на от­рез­ке

Если то а не лежит на ука­зан­ном от­рез­ке. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим, что если то функ­ция убы­ва­ет на и на Про­ве­дя ана­ло­гич­ные вы­чис­ле­ния, можно по­лу­чить, что ее наи­мень­шее зна­че­ние равно

Оста­лось ис­сле­до­вать наи­мень­шие зна­че­ния (1) и (2) на со­от­вет­ству­ю­щих от­рез­ках и найти наи­мень­шее из них. Од­на­ко по­сколь­ку при за­ме­не функ­ции пе­ре­хо­дят друг в друга, до­ста­точ­но будет ис­сле­до­вать одну из них. Иными сло­ва­ми, по­сколь­ку для всех α из от­рез­ка верно ра­вен­ство до­ста­точ­но найти наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на про­ме­жут­ке

Ис­сле­ду­ем про­из­вод­ную функ­ции на ин­тер­ва­ле

Ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа и На ин­тер­ва­ле зна­че­ния тан­ген­са по­ло­жи­тель­ны и мень­ше 1, по­это­му в него вхо­дит толь­ко ко­рень

На ин­тер­ва­ле про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, на ин­тер­ва­ле по­ло­жи­тель­на. Сле­до­ва­тель­но, функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке и воз­рас­та­ет на от­рез­ке По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние на от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке Такое же наи­мень­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет и в точке при­над­ле­жа­щей от­рез­ку

Итак, наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в точ­ках и

При­ме­ча­ние РЕШУ ЕГЭ.

Это за­да­ние из всту­пи­тель­но­го эк­за­ме­на в Мос­ков­ский го­су­дар­ствен­ный уни­вер­си­тет не­сколь­ко слож­нее дру­гих.