ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 627642 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: |x плюс 2| конец дроби плюс |x| умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 48 правая круглая скобка =a$

имеет ровно три решения.

Спрятать решение

Решение.

Исследуем функцию

$a левая круглая скобка x правая круглая скобка =|x| умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 48 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: |x плюс 2| конец дроби .$

При $x больше минус 2$ функция принимает вид $a левая круглая скобка x правая круглая скобка =|x| умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 48 правая круглая скобка плюс 1,$ а при $x меньше минус 2$ функция принимает вид $a левая круглая скобка x правая круглая скобка =|x| умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 48 правая круглая скобка минус 1.$

Заметим, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =|x| умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 48 правая круглая скобка плюс 1$ является чётной функцией. Рассмотрим её на промежутке $левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ На этом промежутке $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 48x плюс 1.$ Тогда её производная $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 48.$ Стационарная точка $x=4$ является точкой минимума. Функция убывает на $левая квадратная скобка 0; 4 правая квадратная скобка$ и неограниченно возрастает на $левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ При этом $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1,$ $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = минус 87,$ $f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = минус 127.$

Тогда для исходной функции $a левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеем

x	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка$	−4	$левая круглая скобка минус 4 ; минус 2 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус 2 ; 0 правая круглая скобка$	0	$левая круглая скобка 0 ; 4 правая круглая скобка$	4	$левая круглая скобка 4 ; плюс бесконечность правая круглая скобка$
$a' левая круглая скобка x правая круглая скобка$	−	0	+	+	не существует	−	0	+
$a левая круглая скобка x правая круглая скобка$	убывает	точка минимума	возрастает	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
значения $a левая круглая скобка x правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус 129 ; плюс бесконечность правая круглая скобка$	−129	$левая круглая скобка минус 129 ; минус 89 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус 87 ; 1 правая круглая скобка$	1	$левая круглая скобка минус 127 ; 1 правая круглая скобка$	−127	$левая круглая скобка минус 127 ; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Тогда исходное уравнение имеет ровно три корня при $a= минус 127,$ $минус 89 меньше или равно a меньше или равно минус 87$ и $a=1.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 89; минус 87 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка минус 127; 1 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 386

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь