Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 508671
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 4|x| минус ax плюс a на от­рез­ке [−1; 3] не мень­шее, чем −5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­тре­бо­вать, чтобы наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции было не мень­ше чем −5 это все равно что по­тре­бо­вать, чтобы все ее зна­че­ния были не мень­ше чем −5. То есть не­ра­вен­ство x в квад­ра­те минус 4|x| минус ax плюс a боль­ше или равно минус 5 долж­но вы­пол­нять­ся на всем про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . То есть

x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 4 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a плюс 5 боль­ше или равно 0приx при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка иx в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 4 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a плюс 5 боль­ше или равно 0приx при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Те­перь за­ме­тим, что и на­о­бо­рот  — до­ста­точ­но чтобы эти не­ра­вен­ства вы­пол­ня­лись в не­сколь­ких точ­ках, если толь­ко одна из них (можно не вы­яс­нять какая) будет точ­кой с наи­мень­шим зна­че­ни­ем. По­сколь­ку квад­рат­ный трех­член с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том на любом от­рез­ке при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние либо в абс­цис­се вер­ши­ны па­ра­бо­лы  — его гра­фи­ка (если эта точка лежит на от­рез­ке) либо в одном из кон­цов от­рез­ка (если не лежит), то нужно про­ве­рить сле­ду­ю­щие не­ра­вен­ства:

1 минус левая круг­лая скоб­ка 4 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a плюс 5 боль­ше или равно 0 (верно при a боль­ше или равно минус 1),

a плюс 5 боль­ше или равно 0 (верно при a боль­ше или равно минус 5),

9 минус 3 левая круг­лая скоб­ка 4 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a плюс 5 боль­ше или равно 0 (верно при a мень­ше или равно 1).

минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс a плюс 5 боль­ше или равно 0 при дробь: чис­ли­тель: a минус 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то есть при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 2;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка (нас не ин­те­ре­су­ет, по­сколь­ку уже уста­нов­ле­но, что a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка

минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс a плюс 5 боль­ше или равно 0 при дробь: чис­ли­тель: a плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то есть при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка (то есть это обя­за­тель­но надо про­ве­рить, при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ука­зан­ная точка точно лежит на ин­те­ре­су­ю­щем нас от­рез­ке).

минус a в квад­ра­те минус 8a минус 16 плюс 4a плюс 20 боль­ше или равно 0,

минус a в квад­ра­те минус 4a плюс 4 боль­ше или равно 0,

a в квад­ра­те плюс 4a плюс 4 мень­ше или равно 8,

левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 8,

a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та ; минус 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Итак, сов­ме­щая все огра­ни­че­ния, по­лу­ча­ем a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; минус 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; минус 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.

ИЛИ

Уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108
Классификатор алгебры: Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025