ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 505782 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых функция

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = синус 2x минус 8 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка синус x плюс левая круглая скобка 4a в квадрате плюс 8a минус 14 правая круглая скобка x$

является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.

Спрятать решение

Решение.

Возьмем производную этой функции (она должна быть всюду положительна):

$2 косинус 2x минус 8 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка косинус x плюс левая круглая скобка 4a в квадрате плюс 8a минус 14 правая круглая скобка больше 0.$

Обозначим $косинус x=t,$ $минус 1 меньше или равно t меньше или равно 1:$

$4t в квадрате минус 2 минус 8 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка 4a в квадрате плюс 8a минус 14 правая круглая скобка больше 0,$

$t в квадрате минус 2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс 2a минус 4 правая круглая скобка больше 0,$

$левая круглая скобка t минус a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 5 больше 0,$

$|t минус a минус 1| больше корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Это неравенство должно выполняться при всех t из отрезка $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка .$

Если $минус 2 меньше или равно a меньше или равно 0,$ то неравенство не выполняется, например, при $t=0.$

Если $a больше 0,$ то $t минус a минус 1 меньше 0$ при всех t из отрезка $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка$ и $|t минус a минус 1|=a плюс 1 минус t,$ поэтому нужно, чтобы $a больше корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Если $a меньше минус 2,$ то $t минус a минус 1 больше 0$ при всех t из отрезка $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка$ и $|t минус a минус 1|=t минус a минус 1,$ поэтому нужно, чтобы $a меньше минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2.$

Ответ: $a меньше минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2$ или $a больше корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. ИЛИ Установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 71

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь