При каких значениях параметра a область значений функции
содержит отрезок [1; 2]?
Полагая 
перепишем уравнение в виде:
где 
а 
Дальнейшие рассуждения свяжем с соотношением
которое будем рассматривать как уравнение относительно переменной z. Это уравнение может иметь лишние корни, которые, если они существуют, будут выявлены в дальнейшем при рассмотрении системы
Имея это в виду, рассмотрим квадратный трёхчлен
Тогда задачу можно переформулировать следующим образом: при каких значениях параметра b для любого 
существует корень квадратного трёхчлена 
принадлежащий отрезку [−1; 1]?
Заметим, что квадратный трёхчлен 
имеет корни только в случае, когда 
где 
— абсцисса вершины параболы — графика рассматриваемого трёхчлена, с учётом того, что 
приходим к рассмотрению неравенства
которое при равносильно неравенству
Если теперь рассмотреть функцию 
то так как 
для своё максимальное значение она принимает на правом конце рассматриваемого отрезка. А поскольку
то неравенство 
будет выполняться при всех 
Следующий шаг в решении задачи состоит в том, чтобы среди найденных значений параметра b, при которых существуют корни уравнения выбрать те значения, при которых хотя бы один из корней принадлежит отрезку [−1; 1].
Но поскольку 
и 
то 
и поэтому хотя бы один корень квадратного трёхчлена будет принадлежать отрезку [−1; 1] при тех значениях параметра b, при которых справедливо неравенство 
Функция 
графиком которой является гипербола, принимает наименьшее своё значение на отрезке [1; 2], равное 
при 
и поэтому 
Объединяя полученные результаты, приходим к выводу, что
Рассмотрим теперь случай, когда в соотношении 
Решая эту систему, находим, что либо 
либо 
При 
равенство переписывается в виде
и значения достигаются при значениях 
При 
равенство записывается в виде
и значения достигаются при значениях 
Но у нас 
и, таким образом, значение не удовлетворяет требованиям задачи. Итак,
Возвращаясь к параметру a, получаем: 
Ответ: 