PDF-версии: 
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
Решение. ОДЗ данного уравнения: 
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
хотя бы одно решение, не равное 
Преобразуем уравнение:
Функция в правой части уравнения на отрезке монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при 
Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если 
и 
то есть при 
При 
функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку 
В этом случае получим:
откуда получаем ответ.
Приведём другое решение.
Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка 
кроме точки, в которой 
то есть кроме точки На этой области имеем:
Найдём множество значений левой части. Пусть 
тогда
Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка 
кроме значения 
Таким образом, 
Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка 
кроме 
Приведем третье решение.
ОДЗ данного уравнения:
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
хотя бы одно решение, не равное Преобразуем уравнение:
Обозначим 
тогда последнее уравнение примет вид 
В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку
Угловой коэффициент горизонтальной прямой 
У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент 
У прямой, проходящей через точку 
угловой коэффициент 
Таким образом, условие задачи выполняется при 
Вернувшись к параметру 
получаем:
или 
Комментарий.
Изложим идею решения иными словами.
Обозначим в исходном уравнении 
Далее заметим, что при условии 
можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде 
Отметим далее, что в силу введённых обозначений 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (
) и отличные от точек прямой 
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
или или 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).
имеют общие точки с графиком функции 
при условиях 
Таким образом, (см. рис.), искомыми значениями параметра являются 
исключая 
равносильно системе 
если уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку 
либо промежутку 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке 
уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
при условии 
(рис. 1).
(рис. 2).
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
и при 
тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:
имеет с горизонтальными прямыми 
и 
ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если 
уравнение не имеет решений. Если 
то при 
а если 
то при 
имеем:
функция f является возрастающей, а при 
— убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке. 
откуда 
при 
откуда 
или 
в зависимости от a и 
При 
и 
левая часть определена и принимает вид
выражение 
принимает по одному все значения из промежутка 
для 
для 
Значит, при 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
при 
при 
и не имеет решений при 
и 
При 
уравнение принимает вид 
и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
и/или 
или 
; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки 
не меньше 9.
или 
откуда: 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке 
тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен 
имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу 
либо 
равный 0 или 2, либо квадратный трёхчлен 
и 
ненулевые значения разных знаков.
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит отрезку 
и 
Значит, 
при 
на отрезке 
при 
При таком значении a уравнение 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
имеет единственное решение на отрезке 
или 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке 
тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен 
имеет единственный корень и этот корень принадлежит отрезку 
либо 
и 
ненулевые значения разных знаков.
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит 
и 
Значит, 
при 
При таком значении a уравнение 
и 
при 
При таком значении a уравнение 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
имеет единственное решение на отрезке 
или 
Получаем:
Дискриминант этого уравнения равен 
поэтому оно при всех значениях a имеет ровно два различных корня. Положим 
Так как 
оба корня уравнения 
принадлежат промежутку 
тогда и только тогда, когда 
и 
то есть когда 
и 
Значит, уравнение 
все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу 
точки которой соответствуют нулям знаменателя. 
в уравнение 
и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: 
и 
— точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.
и прямой 
найдём из уравнения 
Получаем 
найдём из уравнения 
Получаем 
и 
найдём из уравнения 
или 
или 
найдём из уравнения 
Получаем 
Если при некоторых значениях а существуют такие числа x0, x1, что выполняются равенства 
и 
то отрезок [0; 1] будет принадлежать множеству значений данной функции.
и найдём корни уравнения 
(*)
то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения, если же 
или 
то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня. 
и параболы 
(это следует из того, что уравнение 
имеет единственное решение).
имеет ровно один корень на 
и при этом не имеет корней на 
Это выполняется при 
Найдём значения 
является меньшим корнем уравнения 
получаем: 
Значение 
является корнем уравнения 
получаем: 
Значение 
является корнем уравнения 
получаем: 
при 
исключая точки, которые лежат на прямых 
а именно: точки 
исключая точки, которые лежат на прямых 
а именно: точки 
тогда
имеет единственное решение на промежутке 
— параболу с ветвями вверх и вершиной 
Заметим, что 
откуда
при 
или при 
имеет единственное решение 
на отрезке [0; 3]. Выражение 
имеет смысл при 
Уравнение 
имеет единственное решение 
на отрезке [0; 3] при 
Выражение 
имеет смысл при всех значениях x. Решения 
при 
исходное уравнение не имеет решений на заданном отрезке, при 
имеет решение 
при 
имеет решение 
и при 
эти два решения совпадают. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; 3] при тех a, меньших 
которые не лежат на отрезке [−1; 2], а также при 
то есть при 
где 
и разделив числитель и знаменатель левой части уравнения на 
получаем уравнение 
При 
имеем:
при 
Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины этой параболы равна 0,5, значит, функция будет иметь корни на промежутке 
и 
(см. рис.). Окончательно получаем:
при 
имеет один корень на интервале 
а при 
— два корня на этом интервале. Тогда исходное уравнение имеет ровно два корня на интервале 
в двух случаях: или
и 
не являются решениями полученной системы ни при каких значениях параметра, поэтому на выражения в скобках можно разделить без потери равносильности. Получаем:
в системе координат xOa. Найдем производную и определим ее знаки:
в критических точках: 
и исключим эти точки на графике: 
имеет три различных корня;
имеет два различных корня;
имеет три различных корня;
имеет два различных корня;
имеет один корень;
не имеет корней;
имеет один корень;
имеет один корень;
не имеет корней;
имеет один корень;
имеет два различных корня;
имеет три различных корня;
имеет два различных корня;
имеет три различных корня.
— отрезок прямой 
График правой части 
— парабола с ветвями вверх и вершиной в точке 
На рисунке представлены граничные ситуации: 
— парабола касающаяся прямой 
(выделена оранжевым), 
— парабола, правая ветвь которой проходит через точку 
(выделена зелёным) и 
— парабола, левая ветвь которой проходит через точку 
имеет один корень при 
имеет два корня при 
имеет один корень при 
и не имеет корней при 
нулю. 
или 
и 
По графику получаем, что уравнение имеет
четыре корня;
четыре корня;
три корня;
четыре корня;
три корня;
два корня.
имеет ровно один корень.
и 
(выделены синим), расположенные внутри окружности 
справа от прямой 
(выделено зелёным), за исключением точек, принадлежащих окружности 
(выделено красным).
Получаем: 
Прямые 
и при 
система решений не имеет, в остальных случаях система имеет два решения.)
система не имеет решений;
система имеет одно решение 
или 
система имеет два решения 
или 
система имеет три решения 
или 
система имеет три решения 
или при 
тогда
откуда находим:
имеем:
тогда
один корень;
два корня;
один корень;
два корня;
три корня;
четыре корня;
два корня;
четыре корня;
три корня;
два корня;
один корень;
два корня;
один корень.
исходное уравнение имеет единственное решение 
При 
уравнение не имеет решений. При 
решениями уравнения являются два числа: 
и 
совпадающие, если 
При 
единственным решением уравнения является число 
имеет три различных решения.
Эта функция определена, непрерывна и дифференцируема на множестве действительных чисел. Найдём производную:
или 
Изобразим на рисунке знаки производной и поведение функции.
имеет три различных решения при 
Найдём соответствующие значения функции:
уравнение имеет три различных решения.
при 
(см. рис.). Для того, чтобы система имела ровно три решения, необходимо, чтобы уравнение 
и одно решение при 
является решением при всех 
Значит, нужно найти такие значения a, для которых уравнение имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней при 
то уравнение (⁎) имеет единственное решение 
поскольку его левая часть убывает, а правая — возрастает. При 
уравнение (⁎) также имеет единственное решение. Следовательно, 
а тогда функция 
возрастает и пересекается с прямой 
на полуинтервале 
тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
Имеем:
имело одно решение при 
и рассмотрим уравнение 
для функции
Найдем производную:
а потому функция 
возрастает, а уравнение 
сохраняет знак при 
заключаем, что 
Таким образом, показано, что функция 
убывает на (−4; ∞). Найдем пределы:
имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней на луче (0; ∞). Множество значений 
функции 
Таким образом, 
При неотрицательных значениях x неравенству 
удовлетворяют точки, лежащие одновременно не ниже прямой 
и не выше прямой 
Решение полученной системы на отрезке [0; 1] выделено оранжевым цветом. Абсциссы точек пересечения прямых найдём из уравнений: 
не имеет корней;
имеет один корень;
имеет два корня;
имеет один корень;
не имеет корней.
должно иметь на отрезке 
единственный и притом отличный от нуля корень. Запишем это уравнение в виде 
заметим, что 
Положим, 
и построим на промежутке 
пересекает построенный график в единственной точке при 
то есть при 
и при всех таких а, что
то есть при 
это значение параметра не подходит.
не имеет решений.
Заметим, что каждому значению t из промежутка 
найдётся хотя бы одно соответствующее значение x, а любому прочему t не соответствует ни одного значения x. Рассмотрим функцию 
где 
найдём множество ее значений при помощи производной:
(
не входит в область определения функции f ). Вычислим значения функции в граничных точках области определения и в стационарной точке:
а значит, и исходное уравнение не имеют решений при 
или 
принимает значение 1 в точке 
и только в ней. Тогда для того, чтобы исходное уравнение не имело корней на отрезке 
необходимо и достаточно, чтобы уравнение 
не имело корней на полуинтервале 
где 
найдём множество ее значений при помощи производной:
и 
Вычислим значения функции в стационарных точках, на левой границе области определения и предел при функции при стремлении к правой границе области определения:
не имеет решений при 
или 
имеет единственный корень.
тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x, при 
нет соответствующих значений x. Требуется найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет три различных корня.
тогда
имеет три различных корня тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая 
имеет с графиком функции 
ровно три общие точки, то есть при 
тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x. Условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда уравнение 
График первого уравнения 
— парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке 
График второго уравнения 
парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке 
Графики пересекаются в точках 
и 
Анализируя графики, получаем, что совокупность имеет три положительных корня при 
имеет ровно три различных корня.
тогда каждому значению t, отличному от нуля, соответствует ровно одно значение x. Значит, требуется найти значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет три различных отличных от нуля корня. Функция 
непрерывна, 
и 
Изобразим на рисунке знаки производной и поведение функции, найдем экстремумы функции:
имеет три различных корня при 
Поскольку 
при 
и при 
имеет единственное решение.
Рассмотрим функцию 
она возрастающая (как сумма двух возрастающих функций), ее наименьшее значение 
тогда уравнение записывается в виде 
На ОДЗ при 
а значит, уравнение не имеет решений. 
возрастает, а правая постоянна, значит, уравнение имеет не более одного корня. Проверка показывает, что 
Функция f выпукла вверх (как сумма двух выпуклых вверх функций), поэтому ее график лежит не выше касательной и имеет с секущей прямой не более двух общих точек. Следовательно, при 
один корень может быть только в случае, когда прямая касается кривой.
и 
Отметим, что 
и тогда
сонаправлен с вектором 
то есть при 
при 
и 
при прочих х. Тем самым прямая 
соответствующая значению параметра 
значит, уравнение 
или 