ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 677079 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$16 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 минус 4a правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус a в квадрате плюс 2a минус 1 = 0$

имеет три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x. Условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда уравнение

$t в степени 4 минус 6t в кубе плюс 8t в квадрате минус 2 левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка t минус левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате =0$

имеет три положительных корня. Преобразуем уравнение:

$t в степени 4 минус 6t в кубе плюс 8t в квадрате минус 2 левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка t минус левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t в степени 4 минус 6t в кубе плюс 9t в квадрате минус t в квадрате минус 2 левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка t минус левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 3t правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка t плюс 1 минус a правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 4t минус 1 плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 минус a правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t в квадрате минус 4t минус 1 плюс a=0, t в квадрате минус 2t плюс 1 минус a=0. конец совокупности .$

Построим график полученной совокупности в системе координат tOa при $t больше 0.$ График первого уравнения $a= минус t в квадрате плюс 4t плюс 1$   — парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке $левая круглая скобка 2; 5 правая круглая скобка .$ График второго уравнения $a= t в квадрате минус 2t плюс 1$ парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке $левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка .$ Графики пересекаются в точках $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка .$ Анализируя графики, получаем, что совокупность имеет три положительных корня при $0 меньше a меньше 1,$ $1 меньше a меньше 4$ и $4 меньше a меньше 5.$

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 497

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь