ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 676809 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка |x минус 6| = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 9 a правая круглая скобка$ имеет три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $b= логарифм по основанию 9 a,$ тогда

$логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка |x минус 6| = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка b равносильно логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 |x минус 6| = 2 логарифм по основанию 3 b равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x|x минус 6| правая круглая скобка = 2 логарифм по основанию 3 b равносильно система выражений b в квадрате =x|x минус 6|, b больше 0. конец системы .$

Построим график функции

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x|x минус 6| = система выражений x левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , если x больше или равно 6, x левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , если x меньше 6. конец системы .$

Уравнение $b в квадрате =x|x минус 6|$ имеет три различных корня тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $y=b в квадрате$ имеет с графиком функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ ровно три общие точки, то есть при

$0 меньше b в квадрате меньше 9 \underset b больше 0 \mathop равносильно 0 меньше b меньше 3.$

Вернёмся к параметру a:

$0 меньше логарифм по основанию 9 a меньше 3 равносильно 1 меньше a меньше 9 в кубе .$

Таким образом, уравнение имеет три различных корня при $1 меньше a меньше 729.$

Ответ: $левая круглая скобка 1; 729 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 676809: 676828 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь