ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 544254 Добавить в вариант

Найти все значения параметра а, при которых уравнение

$дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс a правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 2 конец дроби = левая круглая скобка a минус 4x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в степени 4 плюс левая круглая скобка a минус 4x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка .$

имеет единственное решение на промежутке $левая круглая скобка минус 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 0 правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t=a минус 4x,$ тогда

$дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс t правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 2 конец дроби =t левая круглая скобка 3x в степени 4 плюс t в квадрате правая круглая скобка равносильно x в степени 6 плюс 3x в степени 4 t плюс 3x в квадрате t в квадрате плюс t в кубе =6x в степени 4 t плюс 2t в кубе равносильно$

$равносильно x в степени 6 минус 3x в степени 4 t плюс 3x в квадрате t в квадрате минус t в кубе =0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус t правая круглая скобка в кубе =0 равносильно x в квадрате =t.$

Таким образом, требуется найти все значения параметра а, при которых уравнение $x в квадрате =a минус 4x$ имеет единственное решение на промежутке $левая круглая скобка минус 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 0 правая квадратная скобка .$

Изобразим эскиз графика $a левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс 4x$   — параболу с ветвями вверх и вершиной $левая круглая скобка минус 2; минус 4 правая круглая скобка .$ Заметим, что $минус 4 меньше минус 2 минус корень из 2 меньше минус 2,$ откуда

$a левая круглая скобка минус 2 минус корень из 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 2 минус корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка минус 2 минус корень из 2 правая круглая скобка = минус 2.$

Следовательно, уравнение имеет единственное решение на промежутке $левая круглая скобка минус 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 0 правая квадратная скобка$ при $a= минус 4$ или при $минус 2 меньше или равно a\leqslant0.$

Ответ: $левая фигурная скобка минус 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус 2;0 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 312. (Часть C)

Классификатор алгебры: Координаты (x, a), Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь