а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния а бо­ко­вое ребро На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём Плос­кость со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит ребро AC в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Пря­мая BO вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APC, если ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти равен 8, а

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 14 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­мень­ший го­до­вой платёж со­ста­вит 3,85 млн руб­лей? (Счи­тай­те, что округ­ле­ния при вы­чис­ле­нии пла­те­жей не про­из­во­дят­ся).

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

В ящике лежат 65 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. В ящике есть хотя бы два овоща раз­лич­ной массы, а сред­няя масса всех ово­щей равна 1000 г. Сред­няя масса ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых мень­ше 1000 г, равна 982 г. Сред­няя масса ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых боль­ше 1000 г, равна 1024 г.

а)  Могло ли в ящике ока­зать­ся по­ров­ну ово­щей мас­сой мень­ше 1000 г и ово­щей мас­сой боль­ше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике ока­зать­ся ровно 13 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 1000 г?

в)  Какую наи­мень­шую массу может иметь овощ в этом ящике?