ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 623357 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$x в степени 4 минус 2x в кубе минус 4x в квадрате плюс 10x минус 5 минус 2ax плюс 6a минус a в квадрате =0$

имеет не более трех решений.

Спрятать решение

Решение.

Разложим левую часть уравнения на множители:

$x в степени 4 минус 2x в кубе минус 4x в квадрате плюс 10x минус 5 минус 2ax плюс 6a минус a в квадрате =0 равносильно x в степени 4 минус 2x в кубе минус 4x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка x минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно$ $x в степени 4 минус 2x в кубе минус 4x в квадрате плюс 10x минус 5 минус 2ax плюс 6a минус a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно x в степени 4 минус 2x в кубе минус 4x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка x минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x плюс 1 минус a=0,x в квадрате минус 5 плюс a=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,a=5 минус x в квадрате . конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x плюс 1 минус a=0,x в квадрате минус 5 плюс a=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,a=5 минус x в квадрате . конец совокупности .$

В системе координат xOa построим графики двух квадратичных функций, которые пересекаются в точках $левая круглая скобка минус 1;4 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 2; 1 правая круглая скобка .$ По графику получаем, что уравнение имеет

—  при $a меньше 0$ два корня;

—  при $a=0$ три корня;

—  при $0 меньше a меньше 1$ четыре корня;

—  при $a=1$ три корня;

—  при $1 меньше a меньше 4$ четыре корня;

—  при $a=4$ три корня;

—  при $4 меньше a меньше 5$ четыре корня;

—  при $a=5$ три корня;

—  при $a больше 5$ два корня.

Таким образом, уравнение имеет не более трёх корней при $a меньше или равно 0,$ $a=1,$ $a=4$ и $a больше или равно 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1; 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 371

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь