ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 526344 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: 2a минус x в квадрате минус 3x, знаменатель: x плюс a в квадрате конец дроби =0$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$дробь: числитель: 2a минус x в квадрате минус 3x, знаменатель: x плюс a в квадрате конец дроби =0 равносильно система выражений 2a минус x в квадрате минус 3x=0,x плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a= дробь: числитель: x в квадрате плюс 3x, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно минус a в квадрате . конец системы .$

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения парабол $a= дробь: числитель: x в квадрате плюс 3x, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x= минус a в квадрате$ найдём из уравнения $a= дробь: числитель: a в степени 4 минус 3a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$

$a в степени 4 минус 3a в квадрате минус 2a=0;$

$a левая круглая скобка a в кубе минус 3a минус 2 правая круглая скобка =0;$

$a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус a минус 2 правая круглая скобка =0;$

$a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка =0.$

Получаем $a= минус 1,$ или $a=0,$ или $a=2.$

Вершина параболы $a= дробь: числитель: x в квадрате плюс 3x, знаменатель: 2 конец дроби$ в точке $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .$

Ровно два решения исходное уравнение имеет при $минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби меньше a меньше минус 1,$ $минус 1 меньше a меньше 0,$ $0 меньше a меньше 2,$ $a больше 2.$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от исходного только включением точки $минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби$	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев и получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек −1; 2 и/или $минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби$ ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения	2
Задача сведена к исследованию: взаимного расположения параболы и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 526344: 526540 526679 Все

Источники:

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Группировка, Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь