Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 622986
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра p, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

36 умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби

имеет един­ствен­ный ко­рень.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

36 умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус 36 мень­ше или равно x мень­ше или равно 36 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4x= левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 36 конец си­сте­мы .

По­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой части урав­не­ния. Гра­фик левой части урав­не­ния, с учётом огра­ни­че­ния 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 36  — от­ре­зок пря­мой y=4x. Гра­фик пра­вой части y= левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те   — па­ра­бо­ла с вет­вя­ми вверх и вер­ши­ной в точке левая круг­лая скоб­ка p; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . На ри­сун­ке пред­став­ле­ны гра­нич­ные си­ту­а­ции: y= левая круг­лая скоб­ка x минус p_1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те   — па­ра­бо­ла ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой y=4x (вы­де­ле­на оран­же­вым), y= левая круг­лая скоб­ка x минус p_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те   — па­ра­бо­ла, пра­вая ветвь ко­то­рой про­хо­дит через точку левая круг­лая скоб­ка 36; 144 пра­вая круг­лая скоб­ка (вы­де­ле­на зелёным) и y= левая круг­лая скоб­ка x минус p_3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те   — па­ра­бо­ла, левая ветвь ко­то­рой про­хо­дит через точку левая круг­лая скоб­ка 36; 144 пра­вая круг­лая скоб­ка (вы­де­ле­на крас­ным).

Урав­не­ние не имеет кор­ней при p мень­ше p_1, имеет один ко­рень при p = p_1, имеет два корня при p_1 мень­ше p мень­ше или равно p_2, имеет один ко­рень при p_2 мень­ше p мень­ше или равно p_3 и не имеет кор­ней при p боль­ше p_3.

Зна­че­ние p1 найдём, при­рав­няв дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния 4x= левая круг­лая скоб­ка x минус p_1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те нулю.

4x= левая круг­лая скоб­ка x минус p_1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка p_1 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс p_1 в квад­ра­те =0, дробь: чис­ли­тель: D, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка p_1 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус p_1 в квад­ра­те =4p_1 плюс 4.

4p_1 плюс 4=0 рав­но­силь­но p_1= минус 1.

Зна­че­ния p2 и p3 найдём, под­ста­вив в y= левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ко­ор­ди­на­ты точки левая круг­лая скоб­ка 36; 144 пра­вая круг­лая скоб­ка .

144= левая круг­лая скоб­ка 36 минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но \pm 12 =36 минус p рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний p_2=24,p_3=48. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень при p= минус 1 или 24 мень­ше p мень­ше или равно 48.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 24; 48 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 370
Классификатор алгебры: Левая и пра­вая части в ка­че­стве от­дель­ных гра­фи­ков, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025