Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 530704

Найдите значения параметра a, при которых уравнение

 косинус в квадрате x минус a в квадрате косинус x плюс левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка a минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0

имеет ровно одно решение на промежутке  левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену t= косинус x и найдём корни уравнения

t в квадрате минус a в квадрате t плюс левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка a минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0     (*)

по теореме, обратной теореме Виета:

 совокупность выражений t=a минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t=a в квадрате минус a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Заметим, что если  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше t меньше 1, то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения, если же t=1 или 0 меньше или равно t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня.

В системе координат aOt графиком уравнения (*) является объединение прямой t=a минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и параболы t=a в квадрате минус a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Заметим, что прямая является касательной к параболе в точке a=1 (это следует из того, что уравнение a в квадрате минус a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = a минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби имеет единственное решение).

Требуется найти такие a, при которых уравнение  левая круглая скобка * правая круглая скобка имеет ровно один корень на  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка и при этом не имеет корней на  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка . Это выполняется при a=a_1,0 меньше или равно a меньше a_2, a=1,a=a_3. Найдём значения a_1,a_2и a_3.

Значение a_1 является меньшим корнем уравнения a в квадрате минус a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1, получаем: a_1= дробь: числитель: 1 минус корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби . Значение a_2 является корнем уравнения a минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =0, получаем: a_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Значение a_3 является корнем уравнения a минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1, получаем: a_3= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на промежутке  левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка при a= дробь: числитель: 1 минус корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , 0 меньше или равно a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,a=1,a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1 минус корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби ,1, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 295.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром