Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
ОДЗ данного уравнения: 
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
хотя бы одно решение, не равное 
Преобразуем уравнение:
Функция в правой части уравнения на отрезке монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при 
Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если 
и 
то есть при 
При 
функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку 
В этом случае получим:
откуда получаем ответ.
Приведём другое решение.
Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка 
кроме точки, в которой 
то есть кроме точки На этой области имеем:
Найдём множество значений левой части. Пусть 
тогда
Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка 
кроме значения 
Таким образом, 
Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка 
кроме 
Приведем третье решение.
ОДЗ данного уравнения:
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
хотя бы одно решение, не равное Преобразуем уравнение:
Обозначим 
тогда последнее уравнение примет вид 
В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку
Угловой коэффициент горизонтальной прямой 
У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент 
У прямой, проходящей через точку 
угловой коэффициент 
Таким образом, условие задачи выполняется при 
Вернувшись к параметру 
получаем:
или 
Комментарий.
Изложим идею решения иными словами.
Обозначим в исходном уравнении 
Далее заметим, что при условии 
можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде 
Отметим далее, что в силу введённых обозначений 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (
) и отличные от точек прямой 
Ответ: или