ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 635757 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение:

имеет хотя бы один корень на промежутке [0,5; 4].

Спрятать решение

Решение.

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Чтобы найти нули числителя, получим квадратное относительно параметра уравнение и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета:

$дробь: числитель: 2 a в квадрате плюс 3 a x плюс левая круглая скобка 4 минус 3 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x минус 2 a левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате минус 3 x конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 a в квадрате плюс 3 a x плюс левая круглая скобка 4 минус 3 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x минус 2 a левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка =0,x не равно 0, x не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a в квадрате минус a левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x=0 ,x не равно 0, x не равно 3 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a= логарифм по основанию 2 x,a=2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x, конец системы .x не равно 3,x больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 2 a в квадрате плюс 3 a x плюс левая круглая скобка 4 минус 3 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x минус 2 a левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате минус 3 x конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 a в квадрате плюс 3 a x плюс левая круглая скобка 4 минус 3 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x минус 2 a левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка =0,x не равно 0, x не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a в квадрате минус a левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x=0 ,x не равно 0, x не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений a= логарифм по основанию 2 x,a=2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x, конец системы .x не равно 3,x больше 0. конец совокупности .$

Построим график полученной системы на отрезке [0,5; 4] в системе координат xOa. По графику определяем, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение на отрезке [0,5; 4] при $минус 4 меньше или равно a меньше минус 2,5,$ $минус 2,5 меньше a меньше логарифм по основанию 2 3$ или при $логарифм по основанию 2 3 меньше a меньше или равно 2.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 4; минус 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2,5; логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3; 2 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Комбинация «кривых»

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь