Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [−1; 1].
Преобразуем уравнение:
Положим 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке 
тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен 
имеет единственный корень и этот корень принадлежит отрезку 
либо имеет на отрезке корень, принимает при 
и 
ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при 
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит 
Рассмотрим второй случай. Имеем 
и 
Значит, 
при 
При таком значении a уравнение имеет два решения 
и на отрезке Аналогично 
при 
При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке
Рассмотрим третий случай. Значения и 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда 
или
Ответ: 
Вот ещё идея: можно обозначить x^2 за t и x+a за z. Тогда уравнение приобретает вид (t-z)^2=2(t^2+z^2). После упрощения получаем (t+z)^2=0 или t=-z. Дальше рассматриваем решение квадратного уравнения.