Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 563400
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

левая круг­лая скоб­ка \ctg x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2a в кубе плюс 3a в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 2a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \ctg x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка

имеет ровно 2 ре­ше­ния на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

левая круг­лая скоб­ка \ctg x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2a в кубе плюс 3a в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 2a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \ctg x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка \ctg x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 2a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \ctg x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний \ctg x плюс 3=a в квад­ра­те ,\ctg x плюс 3=2a плюс 3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний \ctg x=a в квад­ра­те минус 3,\ctg x=2a. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что урав­не­ние \ctg x=t при t\geqslant0 имеет один ко­рень на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка , а при t мень­ше 0  — два корня на этом ин­тер­ва­ле. Тогда ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два корня на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка в двух слу­ча­ях: или

си­сте­ма вы­ра­же­ний a в квад­ра­те минус 3=2a,2a мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a= минус 1,a=3, конец си­сте­мы . a мень­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но a= минус 1,

или

си­сте­ма вы­ра­же­ний a в квад­ра­те минус 3\geqslant0,2a\geqslant0,a в квад­ра­те минус 3 не равно 2a конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше или равно ко­рень из 3 ,a\geqslant0 ,a не равно 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­рень из 3 мень­ше или равно a мень­ше 3,a боль­ше 3. конец со­во­куп­но­сти .

Объ­еди­няя по­лу­чен­ные зна­че­ния, по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из 3 ; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 357
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026