Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а его вы­со­та равна 8. Плос­кость се­че­ния со­дер­жит вер­ши­ну ко­ну­са и хорду ос­но­ва­ния, длина ко­то­рой равна 4.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным ост­ро­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 5, а его вы­со­та равна 12. Плос­кость се­че­ния со­дер­жит вер­ши­ну ко­ну­са и хорду ос­но­ва­ния, длина ко­то­рой равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние  — рав­но­бед­рен­ный ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 25 и 7 и ост­рым углом   Каж­дое бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды на­кло­не­но к ос­но­ва­нию под углом 60°.

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка M, оди­на­ко­во уда­лен­ная от всех вер­шин пи­ра­ми­ды (центр опи­сан­ной сферы).

б)  Най­ди­те объем дан­ной пи­ра­ми­ды.

Шар ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния АВС пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC в точке В и ее бо­ко­во­го ребра SA.

а)  До­ка­жи­те, что центр шара лежит в плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной ребру AC и про­хо­дя­щей через его се­ре­ди­ну.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус шара, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 4.

Вы­со­та ци­лин­дра равна 5, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния 10.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна пло­ща­ди его ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей па­рал­лель­но оси ци­лин­дра на рас­сто­я­нии 6 от неё.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью ABP  — рав­но­бед­рен­ный ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

Две па­рал­лель­ные плос­ко­сти, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 2, пе­ре­се­ка­ют шар. Одна из плос­ко­стей про­хо­дит через центр шара. От­но­ше­ние пло­ща­дей се­че­ний шара этими плос­ко­стя­ми равно 0,84.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние шара вто­рой плос­ко­стью яв­ля­ет­ся кру­гом.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус шара.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 18 и 8. Каж­дая бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом 60°.

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка О (центр впи­сан­ной сферы), оди­на­ко­во уда­лен­ная ото всех гра­ней пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти дан­ной пи­ра­ми­ды.

Дан пря­мой кру­го­вой конус с вер­ши­ной M. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — тре­уголь­ник с углом 120° при вер­ши­не M. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна Через точку M про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са, пер­пен­ди­ку­ляр­ное одной из об­ра­зу­ю­щих.

а)  До­ка­жи­те, что по­лу­чен­ный в се­че­нии тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

Диа­метр окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 26, об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра равна 21. Плос­кость пе­ре­се­ка­ет его ос­но­ва­ния по хор­дам длины 24 и 10. Рас­сто­я­ние между этими хор­да­ми равно

а)  До­ка­жи­те, что цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра лежат по раз­ные сто­ро­ны от этой плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те угол между этой плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

Вы­со­та ци­лин­дра равна 3, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 13.

а)  По­строй­те се­че­ние ци­лин­дра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей па­рал­лель­но оси ци­лин­дра, так, чтобы пло­щадь этого се­че­ния рав­ня­лась 72.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до цен­тра ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

Пря­мо­уголь­ник ABCD и ци­линдр рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что AB  — диа­метр верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD лежит в плос­ко­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния и ка­са­ет­ся его окруж­но­сти, при этом плос­кость пря­мо­уголь­ни­ка на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра под углом 60°.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те длину той части от­рез­ка BD, ко­то­рая на­хо­дит­ся сна­ру­жи ци­лин­дра, если ра­ди­ус ци­лин­дра равен

На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S от­ме­че­ны точки A, B и C так, что AB = BC. Ме­ди­а­на AM тре­уголь­ни­ка ACS пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту ко­ну­са.

а)  Точка N  — се­ре­ди­на от­рез­ка AC. До­ка­жи­те, что угол MNB пря­мой.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми AM и SB, если AS  =  2,

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A, B и C, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точка C₁, причём CC₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC   — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми и BC равен

б)  Най­ди­те объём ци­лин­дра.

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки А и В, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точки В₁ и С₁, при­чем ВВ₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а от­ре­зок  АС₁ пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что угол АВС₁ пря­мой.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми ВВ₁ и АС₁, если АВ  =  6, ВВ₁  =  15, В₁С₁  =  8.

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точка причём   — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC   — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те,что угол между пря­мы­ми и BC равен

б)  Най­ди­те объём ци­лин­дра.

В ци­лин­дре на окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A и B, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точки B₁ и C₁, причём BB₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC₁ пе­ре­се­ка­ет его ось ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что угол C₁BA  =  90°.

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти, если AB  =  16, BB₁  =  5, B₁C₁  =  12.

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки А и В, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точки В₁ и С₁, при­чем ВВ₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а от­ре­зок  АС₁ пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что угол АВС₁ пря­мой.

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, если AB  =  20, BB₁  =  15, B₁C₁  =  21.

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A, B и C, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точка C₁, причём CC₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC  — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BC и AC₁ равен

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до AC₁.

В ко­ну­се с вер­ши­ной S и цен­тром ос­но­ва­ния O ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 13, а вы­со­та равна Точки A и B  — концы об­ра­зу­ю­щих, M  — се­ре­ди­на SA, N  — точка в плос­ко­сти ос­но­ва­ния такая, что пря­мая MN па­рал­лель­на пря­мой SB.

а)  До­ка­жи­те что ANO  — пря­мой угол.

б)  Най­ди­те угол между MB и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но что AB  =  10.

Точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, при­чем A и C диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ны. Точка M  — се­ре­ди­на BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая SM об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ABC такой же угол, как и пря­мая AB с плос­ко­стью SBC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC, если AB  =  6, BC  =  8 и AS  =  

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S и цен­тром ос­но­ва­ния O равен 5, а его вы­со­та равна Точка M  — се­ре­ди­на об­ра­зу­ю­щей SA ко­ну­са, а точки N и B лежат на ос­но­ва­нии ко­ну­са, причём пря­мая MN па­рал­лель­на об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са SB.

а)  До­ка­жи­те что   — пря­мой.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой BM и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ко­ну­са, если AB  =  8.

Дан пря­мой кру­го­вой конус с вер­ши­ной М. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — тре­уголь­ник с углом 120° при вер­ши­не М. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна Через точку М про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са, пер­пен­ди­ку­ляр­ное одной из об­ра­зу­ю­щих.

а)  До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ший­ся в се­че­нии тре­уголь­ник  — ту­по­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра О ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Ос­но­ва­ние АВС пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC впи­са­но в ниж­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра, а вер­ши­на S рас­по­ло­же­на на оси О₁О₂ ци­лин­дра (точка О₁  — центр верх­не­го ос­но­ва­ния, точка О₂  — центр ниж­не­го ос­но­ва­ния). Объем ци­лин­дра равен 21π, а объем пи­ра­ми­ды

а)  До­ка­жи­те, что SO₁ : SO₂  =  3 : 4.

б)   Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми АС и SB, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 12, а вы­со­та равна 5.

а)  По­строй­те се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну ко­ну­са и вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные об­ра­зу­ю­щие.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, причём A и C диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ны. Точка M  — се­ре­ди­на BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая SM об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ABC такой же угол, как и пря­мая AB с плос­ко­стью SBC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC, если AB  =  6, BC  =  8 и

Шар про­хо­дит через вер­ши­ны одной грани куба и ка­са­ет­ся сто­рон про­ти­во­по­лож­ной грани куба.

а)  До­ка­жи­те, что сфера ка­са­ет­ся ребер в их се­ре­ди­нах.

б)  Най­ди­те объем шара, если ребро куба равно 1.

Дан пря­мой кру­го­вой конус с вер­ши­ной M. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — тре­уголь­ник с углом 120° при вер­ши­не M. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна Через точку M про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са, пер­пен­ди­ку­ляр­ное одной из об­ра­зу­ю­щих.

а)  До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ший­ся в се­че­нии тре­уголь­ник  — ту­по­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра O ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Конус и по­лу­сфе­ра имеют общее ос­но­ва­ние, ра­ди­ус ко­то­ро­го от­но­сит­ся к вы­со­те ко­ну­са как 1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что по­верх­ность по­лу­сфе­ры делит об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са в от­но­ше­нии 4 : 1, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти по­лу­сфе­ры, на­хо­дя­щей­ся внут­ри ко­ну­са, если ра­ди­ус их об­ще­го ос­но­ва­ния равен 5.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S равен 8, а вы­со­та ко­ну­са SO равна Точка M  — се­ре­ди­на об­ра­зу­ю­щей SA ко­ну­са, а точки B и N лежат в плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са так, что от­ре­зок SB  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, а пря­мая MN па­рал­лель­на SB.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SON.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой ВМ и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ко­ну­са, если AB  =  10.

Диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 26, об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра равна 21. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет его ос­но­ва­ния по хор­дам длины 24 и 10. Пусть М и N  — се­ре­ди­ны этих хорд, P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой MN с осью ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ния от точки Р до плос­ко­стей ос­но­ва­ния ци­лин­дра от­но­сят­ся как 5 : 12.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

На от­рез­ке O₁O₂, со­еди­ня­ю­щем цен­тры ос­но­ва­ний кру­го­во­го ци­лин­дра, от­ме­че­ны точки Р и F так, что В ци­лин­дре рас­по­ло­же­ны два ко­ну­са: пер­вый с вер­ши­ной  F, ос­но­ва­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся круг ос­но­ва­ния с цен­тром O₁, вто­рой  — с вер­ши­ной P, ос­но­ва­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся круг ос­но­ва­ния с цен­тром O₂.

а)  До­ка­жи­те, что бо­ко­вые по­верх­но­сти этих ко­ну­сов пе­ре­се­ка­ют­ся по окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой в 4 раза мень­ше ра­ди­у­са ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

б)  Най­ди­те объем общей части этих ко­ну­сов, если вы­со­та ци­лин­дра равна 10, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 3.

Пер­пен­ди­ку­ляр­ные и рав­ные ребра АD и ВС тет­ра­эд­ра АВСD яв­ля­ют­ся диа­мет­ра­ми двух ос­но­ва­ний ци­лин­дра, длина об­ра­зу­ю­щей ко­то­ро­го равна длине ребра ВС.

а)  До­ка­жи­те, что осе­вое се­че­ние ци­лин­дра, про­хо­дя­щее через ВС, делит вы­со­ту тет­ра­эд­ра ABCD, опу­щен­ную на грань АВС, в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от вер­ши­ны D.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра.

Через вер­ши­ну S ко­ну­са про­ве­де­на плос­кость, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние в точ­ках A и B. Вы­со­та ко­ну­са SO равна дуга AB равна 90°, а хорда AB равна 8.

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стью SAB и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 60°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.