Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 515801

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно  корень из { 730}.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение.

Сразу отметим, что в окружности радиуса R расстояние от центра до хорды (то есть до середины хорды) длиной 2a равно  корень из { R в степени 2 минус a в степени 2 }. Поэтому расстояния от центров оснований до хорд равны 5 и 12.

а) Пусть A и B_1 — середины хорд, B — проекция B_1 на другое основание цилиндра. Тогда AB=12\pm 5, AB_1= корень из { AB в степени 2 плюс BB_1 в степени 2 }= корень из { 21 в степени 2 плюс (12\pm 5) в степени 2 }= корень из { 730}, поэтому следует выбирать знак  плюс , что как раз и означает, что хорды лежат по разные стороны от центров оснований, поэтому центры лежат по разные стороны от плоскости.

 

б) Указанные две плоскости пересекаются по хорде, содержащей точку A, при этом AB перпендикулярна этой хорде, следовательно, и AB_1 тоже. Поэтому

\alpha=\angle BAB_1=\arctg дробь, числитель — BB_1, знаменатель — AB =\arctg дробь, числитель — 21, знаменатель — 17 .

Ответ: б)\arctg дробь, числитель — 21, знаменатель — 17 .

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 9. (Часть C).
Классификатор стереометрии: Расстояние от точки до прямой, Угол между плоскостями, Цилиндр