СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 508179

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждое боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка О (центр вписанной сферы), одинаково удаленная ото всех граней пирамиды.

б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

Решение.

а) Пусть основание пирамиды трапеция ABCD, точки K, L, M и N — основания перпендикуляров опущеных из вершины пирамиды S на стороны основания. SO — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники SOK, SOL, SOM и SON равны по катету SO и острому углу (линейному углу двугранного угла между основанием и боковой гранью равному 60o). Следовательно, OK = OL = OM = ON и точка O является центром окружности вписанной в трапецию. Из равенства указанных треугольников будет следовать, что каждая точка высоты равноудалена от боковых граней пирамиды. Осталось на высоте SO найти точку равноудаленную и от боковых граней и от основания. Очевидно, что таковой будет являться точка G — пересечение высоты SO c биссектриссой одного из углов указанных треугольников, например, SMO (все биссектриссы углов этих треугольников, в силу равенства, будут пересекать SO в одной точке). Таким образом, существование необходимой точки доказано.

б) По условию трапеция равнобедренная, а по доказанному в пункте а) в нее можно вписать окружность. Поэтому, ее боковые стороны высота а радиус вписанной окружности Значит, площадь трапеции

Теперь вычислим апофемы боковых граней Тогда площадь поверхности

 

Ответ: б) 468.

Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Площадь поверхности, Четырехугольная пирамида