Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 508179

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка О (центр вписанной сферы), одинаково удаленная ото всех граней пирамиды.

б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

Решение.

а) Пусть основание пирамиды трапеция ABCD, точки K, L, M и N — основания перпендикуляров опущеных из вершины пирамиды S на стороны основания. SO — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники SOK, SOL, SOM и SON равны по катету SO и острому углу (линейному углу двугранного угла между основанием и боковой гранью равному 60o). Следовательно, OK = OL = OM = ON и точка O является центром окружности вписанной в трапецию. Из равенства указанных треугольников будет следовать, что каждая точка высоты равноудалена от боковых граней пирамиды. Осталось на высоте SO найти точку равноудаленную и от боковых граней и от основания. Очевидно, что таковой будет являться точка G — пересечение высоты SO c биссектриссой одного из углов указанных треугольников, например, SMO (все биссектриссы углов этих треугольников, в силу равенства, будут пересекать SO в одной точке). Таким образом, существование необходимой точки доказано.

б) По условию трапеция равнобедренная, а по доказанному в пункте а) в нее можно вписать окружность. Поэтому, ее боковые стороны AB=CD= дробь, числитель — 18 плюс 8, знаменатель — 2 =13, высота h= корень из { 13 в степени 2 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 18 минус 8, знаменатель — 2 правая круглая скобка в степени 2 }=12, а радиус вписанной окружности r= дробь, числитель — h, знаменатель — 2 =6. Значит, площадь трапеции S= дробь, числитель — 8 плюс 18, знаменатель — 2 умножить на 12=156.

Теперь вычислим апофемы боковых граней SK = SL = SM = SN = дробь, числитель — r, знаменатель — косинус 60 в степени circ =12. Тогда площадь поверхности

S_{пов}=156 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (12 умножить на 18 плюс 12 умножить на 8 плюс 12 умножить на 13 плюс 12 умножить на 13)=468.

 

Ответ: б) 468.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 103.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Площадь поверхности, Четырехугольная пирамида