Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.
а) Докажите, что существует точка О (центр вписанной сферы), одинаково удаленная ото всех граней пирамиды.
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.
Решение.
а) Пусть основание пирамиды трапеция ABCD, точки K, L, M и N — основания перпендикуляров опущеных из вершины пирамиды S на стороны основания. SO — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники SOK, SOL, SOM и SON равны по катету SO и острому углу (линейному углу двугранного угла между основанием и боковой гранью равному 60o). Следовательно, OK = OL = OM = ON и точка O является центром окружности вписанной в трапецию. Из равенства указанных треугольников будет следовать, что каждая точка высоты равноудалена от боковых граней пирамиды. Осталось на высоте SO найти точку равноудаленную и от боковых граней и от основания. Очевидно, что таковой будет являться точка G — пересечение высоты SO c биссектриссой одного из углов указанных треугольников, например, SMO (все биссектриссы углов этих треугольников, в силу равенства, будут пересекать SO в одной точке). Таким образом, существование необходимой точки доказано.
б) По условию трапеция равнобедренная, а по доказанному в пункте а) в нее можно вписать окружность. Поэтому, ее боковые стороны 
высота 
а радиус вписанной окружности 
Значит, площадь трапеции 
Теперь вычислим апофемы боковых граней 
Тогда площадь поверхности
Ответ: б) 468.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 103.
