Шар проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба.
а) Докажите, что сфера касается ребер в их серединах.
б) Найдите объем шара, если ребро куба равно 1.
а) Шар касается сторон одной из граней куба. Сечение шара плоскостью этой грани представляет собой круг, вписанный в квадрат. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в их серединах. Это и доказывает требуемое.
б) Введем обозначения так, как показано на рисунке. Введем прямоугольную систему координат с центром в вершине куба А, оси направим вдоль ребер, и пусть центр сферы имеет координаты (x0, y0, z0), а радиус сферы равен R. Тогда уравнение сферы будет
а лежащие на сфере точки 
и точка касания сферы с серединой ребра 
имеющая координаты 
удовлетворяют соответственно уравнениям:
откуда 
то есть 
Тогда объем шара равен
Ответ: 
Добрый день!
В задаче пропущен пункт а), а в пункте б) недостаточно объяснений. Очень трудно понять, почему мы из x0, y0 вычитаем 1, а не наоборот (т.е. почему не 1-x0 и т. д.), и что мы в итоге получаем. Так, например, первое что приходит в голову при попытке отнять из x0 единицу, это то, что мы «уедем» по AB в сторону А и придём в –x0. Конечно, это мои проблемы, что я не могу понять ваше решение, но ведь задача новая в плане задания, а других её аналогов решения в интернете нет. Я очень прошу вас более подробно объяснить решение в пункте б), т.к. уже два часа я не могу ни найти другое решение этой задачи, ни понять ваше. Заранее благодарю за ответ.
Пункт а) восстановили. В рамках короткого ответа не сможем объяснить решение пункта б). На ваши вопросы ответят в обсуждениях в нашей группе ВК.