Плос­кость пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 7. Плос­кость па­рал­лель­ная плос­ко­сти ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 5.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние шара плос­ко­стью есть круг.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Две па­рал­лель­ные плос­ко­сти, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 2, пе­ре­се­ка­ют шар. Одна из плос­ко­стей про­хо­дит через центр шара. От­но­ше­ние пло­ща­дей се­че­ний шара этими плос­ко­стя­ми равно 0,84.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние шара вто­рой плос­ко­стью яв­ля­ет­ся кру­гом.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус шара.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а бо­ко­вые рёбра равны 8.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC, делит ребро MC в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны M.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые рёбра равны 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку C и се­ре­ди­ну ребра MA па­рал­лель­но пря­мой BD.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 15, а бо­ко­вые ребра равны 16.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 1, а бо­ко­вые рёбра равны 2. Точка N при­над­ле­жит ребру MC, причём MN : NC  =  2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B и N па­рал­лель­но пря­мой AC.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 20, а бо­ко­вое ребро AA₁  =  7. Точка M при­над­ле­жит ребру A₁D₁ и делит его в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны D₁.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и C рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точки B, D и M.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и M.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны рёбра и Точка W при­над­ле­жит ребру DD₁ и делит его в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от вер­ши­ны D.

а)  До­ка­жи­те, что любая плос­кость, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны A₁ и C, делит па­рал­ле­ле­пи­пед на две рав­но­ве­ли­кие фи­гу­ры.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки C, W и A₁.

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 10, а вы­со­та равна 6, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что дву­гран­ный угол при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды боль­ше

б)  Най­ди­те пло­щадь впи­сан­ной сферы.

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 17, а вы­со­та равна 7, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что дву­гран­ный угол при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды боль­ше, чем

б)  Най­ди­те пло­щадь впи­сан­ной сферы.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а его вы­со­та равна 8. Плос­кость се­че­ния со­дер­жит вер­ши­ну ко­ну­са и хорду ос­но­ва­ния, длина ко­то­рой равна 4.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным ост­ро­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 5, а его вы­со­та равна 12. Плос­кость се­че­ния со­дер­жит вер­ши­ну ко­ну­са и хорду ос­но­ва­ния, длина ко­то­рой равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние  — рав­но­бед­рен­ный ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 10, а вы­со­та равна 6, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через её вер­ши­ну и яв­ля­ю­ще­е­ся ту­по­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь впи­сан­ной сферы.

В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно а вы­со­та равна впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что дву­гран­ный угол при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды равен

б)  Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 8. Плос­кость β, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 5.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь по­верх­но­сти мень­ше­го шара не мень­ше, чем 32.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 6. Плос­кость β, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 4.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь по­верх­но­сти мень­ше­го шара не мень­ше, чем 24.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.