Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 508185

Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом \arccos 0,6.  Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).

б) Найдите объем данной пирамиды.

Решение.

а) Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию, следовательно, они вместе со своими проекциями и выстой пирамиды образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Таким образом, проекцией вершины является центр описанной окружности основания. Проведем через этот центр прямую, перпендикулярную основанию (она будет содержать высоту пирамиды). Построенная прямая — множество точек, равноудаленных от вершин основания. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную боковому ребру и проходящую через его середину. Все точки этой плоскости равноудалены от концов ребра. Точка пересечения этой плоскости и ранее построенной прямой будет равноудалена ото всех вершин пирамиды и потому является центром описанной сферы.

б) Поскольку трапеция вписанная, то она равнобедренная. Опустим из вершины меньшего основания высоту h на большее основание, она разобьет основание на отрезки длиной 9 и 16. Тогда боковая сторона b= дробь, числитель — 9, знаменатель — 0,6 =15. Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг трапеции, удалим мысленно одну из вершин меньшего основания и найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого являются три оставшиеся вершины трапеции. Высота трапеции h= корень из { 15 в степени 2 минус 9 в степени 2 }=12. Диагональ d= корень из { 12 в степени 2 плюс 16 в степени 2 }=20. Значит, окружность описана около треугольника со сторонами 25, 15, 20. Он прямоугольный, значит, центр описанной окружности трапеции находится на большем основании, а ее радиус R = 12,5.

Таким образом, высота пирамиды падает в середину большего основания и вершина пирамиды вместе с концами большего основания образует равносторонний треугольник (два его угла по 60 в степени circ), поэтому высота пирамиды H=25 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 . Тогда объем пирамиды

V= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на 25 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 12 умножить на (25 плюс 7)=32 умножить на 25 корень из { 3}=800 корень из { 3}.

Ответ: б) 800 корень из { 3}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 104.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Описанный шар, Четырехугольная пирамида