а)  Пусть от­ре­зок DH  — вы­со­та тет­ра­эд­ра. Точка O₁  — се­ре­ди­на от­рез­ка BC, точка O₂  — се­ре­ди­на от­рез­ка AD, при этом от­рез­ки O₁O₂ и BC, а также AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Зна­чит, плос­кость AO₁D пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку BC, и тогда плос­ко­сти ABC и AO₁D пер­пен­ди­ку­ляр­ны по при­зна­ку. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок  DH лежит в плос­ко­сти  AO₁D. Осе­вое се­че­ние про­хо­дит через от­ре­зок O₁O₂, зна­чит, от­ре­зок DH пе­ре­се­ка­ет плос­кость се­че­ния в точке, ле­жа­щей на O₁O₂,  — на­зо­вем ее P.

Из усло­вия O₁O₂  =  AD. Пусть AO₂  =  O₂D  =  x, O₁O₂  =  2x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AO₁O₂ и ADH по­лу­ча­ем то есть Далее на­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но,

б)  Тре­уголь­ни­ки AO₁D и BO₂C яв­ля­ют­ся рав­но­бед­рен­ны­ми, их ос­но­ва­ния и вы­со­ты равны, сле­до­ва­тель­но, равны и сами тре­уголь­ни­ки. Зна­чит, все грани тет­ра­эд­ра  — рав­ные тре­уголь­ни­ки. Тогда

а ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

Ответ: б)