Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 511160

Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Спрятать решение

Решение.

Пусть точка О — центр шара, R — его радиус, и пусть шар касается ребра SA в точке G. Шар касается плоскости основания, поэтому его центр — точка O — лежит на прямой, проходящей через точку B перпендикулярно ABC. Расстояния от точки O до плоскости основания и до ребра прямой AS равно радиусу шара: OB = OG = R.

По свойству проведенных из одной точки касательных к шару: AB=AG=3, SG = 1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник OGS прямоугольный. По теореме Пифагора найдем квадрат его гипотенузы: OS в квадрате = R в квадрате плюс 1.

Проведем высоту пирамиды SH. Точка H — центр основания, поэтому

AH=BH= дробь: числитель: AB, знаменатель: корень из 3 конец дроби = корень из 3.

Из прямоугольного треугольника ВSH находим: SH= корень из SA в квадрате минус AH в квадрате = корень из 13.

Отрезки SH и OB перпендикуляры плоскости АВС, поэтому они параллельны между собой, а значит, четырехугольник BOSH — прямоугольная трапеция. Проведем в ней высоту OL, тогда:

OL = BH = корень из 3 ,

LH = OB = R,

LS = SH минус LH = корень из 13 минус R.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OLS получаем: OS в квадрате = OL в квадрате плюс LS в квадрате , то есть R в квадрате плюс 1 = левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из 13 минус R правая круглая скобка в квадрате , откуда R = дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 корень из 13 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 корень из 13 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 111.