Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 520784

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно,что \angleACB=30 градусов, AB= корень из 2,CC_1=2.

а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45 градусов.

б) Найдите объём цилиндра.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть BB1 — образующая цилиндра. Тогда BB1C1C — прямоугольник, поэтому угол между прямыми AC1 и равен углу AC_1B_1.

Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая B1C1, параллельная прямой , перпендикулярна прямым AB и BB1. Таким образом, прямая B1С1 перпендикулярна плоскости ABB1, а значит, угол AB1C1 прямой.

 

В прямоугольном треугольнике АB1С1:

B_1C_1=BC=AB корень из 3= корень из 6,AB_1= корень из AB в квадрате плюс BB_1 в квадрате = корень из AB в квадрате плюс CC_1 в квадрате = корень из 6.

Значит, \angleAC_1B_1=45 градусов.

б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, площадь основания цилиндра

S= дробь: числитель: Пи умножить на AC в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби = Пи умножить на AB в квадрате =2 Пи .

Следовательно, объём цилиндра

V=2 Пи умножить на BB_1=4 Пи .

Ответ: б) 4 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 401 (C часть)., Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018
Классификатор стереометрии: Объем тела, Угол между прямыми, Цилиндр