СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 521005

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A, B и C, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния — точка C1 причём CC1 — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что

а) До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BC и AC1 равен

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до AC1.

Ре­ше­ние.

а) Пусть — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра. Тогда — пря­мо­уголь­ник, по­это­му угол между пря­мы­ми и равен углу .

Угол ABC опи­ра­ет­ся на диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра, по­это­му он пря­мой. Зна­чит, пря­мая , па­рал­лель­ная пря­мой , пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мым и . Таким об­ра­зом, пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти , а зна­чит, угол пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке :

Тогда Таким об­ра­зом, ги­по­те­ну­за AC1 пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AB1C1 вдвое боль­ше ка­те­та. Сле­до­ва­тель­но, а ис­ко­мый

б) На­клон­ная C1B пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах. Тогда тре­уголь­ник АВС1 пря­мо­уголь­ный, а ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно длине вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла тре­уголь­ни­ка ABC1 к ги­по­те­ну­зе АС1. Она равна

Ответ:

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 25.06.2018. Вариант 557 (C часть)., За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2018
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямой и плоскости, Расстояние от точки до прямой, Угол между прямыми, Цилиндр