Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A, B и C, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точка C1, причём CC1  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC  — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что \angle ACB=30 гра­ду­сов, AB=2 ко­рень из 3 , CC_1=4 ко­рень из 6 .

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BC и AC1 равен 60 гра­ду­сов.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до AC1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть BB_1  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра. Тогда BB_1C_1C  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му угол между пря­мы­ми AC_1 и BC равен углу AC_1B_1.

Угол ABC опи­ра­ет­ся на диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра, по­это­му он пря­мой. Зна­чит, пря­мая B_1C_1, па­рал­лель­ная пря­мой  BC, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мым AB и BB_1. Таким об­ра­зом, пря­мая B_1C_1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABB_1, а зна­чит, угол AB_1C_1 пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AB_1C_1:

B_1C_1=BC= ко­рень из 3 умно­жить на AB= ко­рень из 3 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =6,

AC=2AB=4 ко­рень из 3 .

Тогда AC_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те плюс CC_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =12. Таким об­ра­зом, ги­по­те­ну­за AC1 пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AB1C1 вдвое боль­ше ка­те­та. Сле­до­ва­тель­но, \angle B_1AC_1 =30 гра­ду­сов, а ис­ко­мый \angleAC_1B_1=60 гра­ду­сов.

б)  На­клон­ная C1B пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах. Тогда тре­уголь­ник  АВС1 пря­мо­уголь­ный, а ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно длине вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла тре­уголь­ни­ка ABC1 к ги­по­те­ну­зе АС1. Она равна

дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на BC_1, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из 3 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мой и плос­ко­сти, Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, Угол между пря­мы­ми, Ци­линдр
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025