Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение. Произведём замену переменной 
получим:
Пусть теперь
При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от 
до 
При t < 0 функция g(t) возрастает, принимая все значения от 
до 
Значит, 
Функция f(t) принимает минимальное значение при 
причём на промежутке (0; +∞) функция возрастает, принимая все значения от 
до 
а на промежутке (−∞; 0) — убывает (функция чётная), принимая все значения от 
до 
Поскольку наибольшее значение функции 
и наименьшее значение функции 
достигается при одном и том же значении 
уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда 
то есть
1. При a ≥ 0 получаем
2. При a < 0 получаем
решений нет.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Тогда уравнение примет вид 
что невозможно, поскольку 
Тогда уравнение примет вид 
Заметим, что левая часть — возрастающая функция 
необходимо и достаточно, чтобы 
Второе — 
что верно при всех неотрицательных 
что невозможно, поскольку 
Тогда уравнение примет вид 
Заметим, что левая часть — убывающая функция 
необходимо и достаточно, чтобы 
или 
в зависимости от того, какое из чисел 0 или 
меньше.
и эти числа равны, получаем функцию 
положительную на левой полуоси.
то можно рассматривать любые 
и поэтому нужно, чтобы
то есть 
Однако такие a уже рассматривались, и для них корень есть.
то можно рассматривать только 
и поэтому нужно, чтобы 
что очевидно невозможно при отрицательных a.
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно имеет более одного корня в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
положителен. То есть когда
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
отрицателен. То есть когда 
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
отрицателен. То есть когда 
и 
угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при 
угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
получаем: 
то 
поэтому неравенство 
не имеет решений.
то пара чисел 
удовлетворяет неравенству 
Получаем:
тогда 
следовательно, 
Раскроем модули, рассмотрим четыре случая.
Имеем:
Имеем:
и 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a1 и x2:
Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a2 и x2: 
следовательно, 
Точка пересечения прямых имеет координаты 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a3 и x2: 
следовательно, 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a4 и x2: 
следовательно, 
Точка пересечения прямых имеет координаты 
а D соответствует 
Подходящие a: 
Ответ
и/или включением точки 
.
или 
выполняется для всех 
и убывает на промежутке 
Исходное неравенство имеет вид 
значит, график функции 
на отрезке 
должен находиться в пределах горизонтальной полосы: 
на отрезке длины 
будет не меньше 
поэтому ее график не поместится в полосе ширины 
следовательно, 
откуда 
достигается либо при 
либо при 
Наименьшее значение функции 
Получаем систему:
тогда 
и уравнение принимает вид
для 
Производная 
положительна при всех t, поэтому функция 
равносильно уравнению 
Тогда 
и уравнение принимает вид
Рассмотрим функцию 
Эта функция определена при всех t, и её производная 
Следовательно, функция 
равносильно уравнению 
откуда 
имеет хотя бы одно решение.
где 
поскольку 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. 
на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2] и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
и рассмотрим функцию 
Ее производная 
и 
Таким образом, приходим к системе 
и/или 
при 
и задача сведена к решению двойного неравенства 
и получено, что 
не имеет решений.
и положим 
где 
Тогда исходное уравнение принимает вид 
на отрезке [0; 2]. 
поэтому 
на промежутке [0; 1) и 
на промежутке (1; 2]. Значит, функция убывает на отрезке [0; 1] и возрастает на отрезке [1; 2]. 
поэтому множество значений функции на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (1); f (2)], 
Таким образом, уравнение 
не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия 
или 
Ее производная 
не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия 
или 
Таким образом, приходим к совокупности
и 
и, значит, 
левая часть второго уравнения системы не меньше, чем 
Его правая часть не больше 
поэтому оно равносильно системе
Так как 
— тоже целое число, из равенства 
получаем, что 
— нечетный делитель числа 2. Таким образом, он равен 1 или –1.
находим 
при 
находим 
имеет хотя бы один корень.
возрастает при 
достигает в нуле наименьшего значения, 
Функция g непрерывна, является кусочно-линейной, при 
ее угловой коэффициент равен либо 3, либо 9, при 
угловой коэффициент равен
убывает при 
в нуле достигает наибольшего значения, 
Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f не превосходит наибольшего значения функции g, то есть тогда и только тогда, когда 
Имеем: 
и 
то условия 
выполнено, но уравнение 
решений не имеет.
Ответ отличается от верного исключением точек 
и/или 
или 
возрастает на области определения и принимает все значения от 
Значит, уравнение 
имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку 
тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему неравенств:
тогда исходное уравнение записывается в виде 
Функция f возрастает, поскольку является суммой двух возрастающих функций. Монотонная функция принимает все свои значения единожды, поэтому получаем:
принимает значения от 
до 
монотонно возрастает на отрезке 
и принимает на нём значения от 
до 
Значит, уравнение 
а с ним и исходное уравнение имеют решение при 
выполняется для всех действительных значений 
Ввиду того, что 
множеством значений выражения 
при 
является промежуток 
Значит, неравенство 
выполняется неравенство 
то неравенство 
не имеет решений на промежутке 
поскольку на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
то неравенство 
должна быть положительна на промежутке 
(см. рис.). Решая неравенство 
с учетом условия 
имеет координаты 
функция 
то есть промежуток 
Таким образом, неравенство 
верно для всех t из промежутка 
откуда с учетом условия 
возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной 
но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют.
Рассмотрим уравнение 
Число x = 0 не является корнем этого уравнения ни при каком значении параметра а. Поэтому это уравнение равносильно уравнению
определим число корней и их расположение для каждого значения параметра а.
функция убывает, а на промежутке 
— возрастает. Следовательно, точка x = 1 — точка минимума, а минимум равен 7.
то при 
уравнение имеет ровно один корень на отрезке 
при 
уравнение не имеет корней на 
то при 
на отрезке 
уравнение имеет ровно два корня. При a > 10 уравнение также имеет единственный корень на отрезке 
тогда неравенство запишется в виде
нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при 
и 
Функция 
возрастающая. Таким образом, если неравенство 
выполнено при 
то оно выполнено при 
неравенство принимает вид
равно нулю при 
и больше нуля при других значениях a. Выражение 
при 
равно 0, при 
принимает вид 
при 
равно −2. Таким образом, неравенство 
выполнено при 
множества значений a, возможно, с исключением точки 
значит, функция 
является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз. 
Её производная 
значит, функция 
или 
которое не имеет корней при 
то есть при 
тогда уравнение примет вид 
Пусть 
При t < 0 функция 
до 
Причем 
и убывает на промежутке 
принимая значения от 
то есть 
При 
получаем 
решений нет.
тогда уравнение примет вид
левая часть уравнения принимает наименьшее значение 
правая часть уравнения убывает и принимает значения от 12|a| до 
а при 
— возрастает, принимая значения от 
что неравенство 
Заметим далее, что данное неравенство равносильно неравенству
строго монотонно возрастает на множестве действительных чисел и, следовательно, первоначальное неравенство выполняется для всех 
тогда и только тогда, когда 
то есть 
полученное неравенство верно. Если 
то неравенство равносильно неравенству
при котором условие вспомогательной задачи не выполнено. Следовательно, при значении 
существует такое 
что неравенство 
при любом значении a из отрезка 
— решение данного уравнения. Тогда равенство 
при всех a из отрезка 
выполняется. Следовательно, все значения 
— решение данного уравнения. Тогда равенство 
из отрезка 
имеет единственное решение на отрезке 
определённой на отрезке 
Найдём множество значений функции на данном отрезке. 
Решим уравнение 
обратимся к рисунку: тангенс отмеченного острого угла прямоугольного треугольника равен 2, синус и косинус этого угла находим как отношение катетов к гипотенузе.
возрастает, принимая значения из отрезка 
а на отрезке 
убывает, принимая значения из отрезка 
Поэтому уравнение имеет единственное решение при 
и 
и поскольку функция 
достигает своего максимального значения 1 в нуле, то функция 
в точке 
Остается найти значения функции 
Тогда 
а уравнение 
точки 
и 
соответствующие повороту точки с координатами (1; 0) на угол 
и 
соответственно (см. рис.). Исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке 
тогда и только тогда, когда прямая l, задаваемая уравнением 
имеет с меньшей дугой АВ окружности ω единственную общую точку.
проходит через точку В при 
и касается окружности ω при 
Тогда искомыми являются все значения параметра из полуинтервала 
и 
и 
то есть единственное решение уравнения 
Приведем его к виду 
и найдем дискриминант 
который обращается в нуль при 
Касанию прямой и окружности в I четверти соответствует положительное значение параметра, тем самым, 
на отрезке 
принимает каждое свое значение ровно один раз, а 
— только в точке 
поэтому полученная система имеет на этом отрезке единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет ровно одно решение на промежутке 
или при 
(см. рис.).
равно наименьшему значению выражения 
Раскрывая модули по определению, на каждом из промежутков раскрытия модулей для функции f получим выражение вида 
(коэффициент 4 при х «перевешивает» коэффициенты при х в остальных слагаемых). Таким образом, при 
старший коэффициент в формулах, задающих функцию, положителен, а значит, функция f возрастает. При 
старший коэффициент отрицателен, поэтому функция f убывает. Поэтому в силу непрерывности f ее значение при 
в зависимости от параметра a. Графиком уравнения в плоскости xOa является парабола с отраженной нижней частью (см. рис.) Тем самым уравнение не имеет корней при 
три корня — при 
четыре корня — при 
Эта система решений не имеет.
Эта система решений не имеет.
Эта система также не имеет решений.
меньше 3.
получим выражение вида 
Следовательно, на этих промежутках 
(коэффициент 2 при х «перевешивает» коэффициент при х во втором слагаемом). Таким образом, при 
старший коэффициент в формулах, задающих функцию, положителен, а значит, функция 
старший коэффициент отрицателен, поэтому функция 
является наименьшим из всех возможных. Таким образом, задача сводится к решению неравенства 
Решим его:
Для этого найдём решения уравнения, соответствующего этому неравенству:
является прямая, графиком уравнения 
является парабола. Найденные прямая и парабола (на рис. изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на пять частей, обозначенных римскими цифрами. В каждой из частей левая часть исходного неравенства сохраняет знак. Проверим для каждого участка выполняется ли исходное неравенство, подставив координаты одной из точек.
— 
— верно.
— 
— неверно.
— 
— верно.
— 
— верно.
— 
— неверно.
а не имеет решений при 
или 
Функция 
непрерывна и неограниченно возрастает при 
поскольку при любом раскрытии модулей
При 
функция f убывает, поскольку при любом раскрытии модулей
Следовательно, наименьшее значение функция f принимает при x = 1, и уравнение f(x) = 0 будет иметь корень тогда и только тогда, когда 
или решение содержит вычислительную ошибку.
где 
то есть уравнению
Требуется найти значения параметра a, при которых уравнение 
Для таких значений переменной справедливо равенство 
что непосредственно следует из тождеств:
то есть корнем должно быть число 1 или −1, и при этом не должно быть других корней.
при всех значениях параметра, число 1 не является корнем ни при каком a. Определим, при каких значениях параметра число −1 является корнем. Найдем 
Решая уравнение 
получаем: 
или 
Осталось проверить, есть ли при найденных значениях а иные корни, кроме −1.
тогда:
Следовательно, других корней, кроме −1, нет.
то
и подберем такое число 
что 
Последнее неравенство будет верно, если 
и при этом 
Возьмем больший корень уравнения 
— 
Найденное 
тогда 
откуда 
—
тогда 
и 
монотонна на множестве действительных чисел при любом положительном значении a (при 
возрастает, при 
убывает, при 
постоянна). Значит, любое число из отрезка [−1; 1] будет являться решением неравенства 
тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
откуда получаем:
Его график — две дуги окружности с центром в (0; 1) и радиусом 
откуда 
В этом случае графиком является приведенное на рисунке объединение четырех лучей, лежащих на прямых y = x и 
каждая из которых проходит через 
При a = 3 — через точку B (3; 3). При a = −2 — через точку C (−2; −2). При a = −9 — через точку D (3; −1). 
где 
тогда
левая часть не принимает отрицательных значений, а потому на множестве корней уравнения обе части равны нулю. Рассмотрим на отрезке 
функцию 
при этом 
(см. эскиз графика функции). Тогда в уравнении (⁎) левая часть неотрицательна, а правая неположительна, значит, оно равносильно системе
тогда
получаем, что только нечетные значения x могут быть решениями системы. Значит, x может принимать только два значения: или x = 1, или x = −1.
где 
где 
при каждом из которых система 
справедливы неравенства
или 
то есть при 
поэтому оба уравнения системы выполняются, например, при 
содержит отрезок [0; 1].
Её областью определения является вся числовая прямая, поскольку знаменатель не обращается в ноль. Данная функция непрерывна на всей числовой прямой.
стремится к 0. Учитывая поведение функции на 
и 
и 
Следовательно, условию задачи удовлетворяют значения 
и/или 
а поскольку должен существовать 
оба этих логарифма положительны.
С учетом всех ограничений находим: 
при 
Поскольку оба множителя положительны и возрастают, то и 
возрастет. Поэтому если 
при 
и 
то 
Значит, 
квадратичная с положительным старшим коэффициентом, поэтому принимает все значения от 
включая до 
причем значения от 
по два раза. Значит, 
при 
принимает все значения из интервала (1; 4) по четыре раза, значение 4 — трижды, значения из луча 
— по два раза. 
откуда находим: 
для каждого из которых существует хотя бы одно число 
удовлетворяющее уравнению 
находим: 
Подставим его в первое уравнение полученной системы и найдём возможные значения параметра α:
удовлетворяют четыре значения параметра, а именно 36°, 324°, 612° и 900°. Их сумма равна 1872°.
тогда исходное уравнение записывается в виде 
Функция f возрастает как сумма возрастающих функций. Монотонная функция принимает все свои значения единожды, поэтому равенство значений функции достигается только при равенстве аргументов:
на 
