Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

a в квад­ра­те плюс 9|x минус 3| плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 6x плюс 13 конец ар­гу­мен­та =4a плюс 2|x минус 2a минус 3|

имеет хотя бы один ко­рень.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­из­ведём за­ме­ну пе­ре­мен­ной t=x минус 3, по­лу­чим:

a в квад­ра­те плюс 9|t| плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та =4a плюс 2|t минус 2a| рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 4a плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та =2|t минус 2a| минус 9|t|.

Пусть те­перь

f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =a в квад­ра­те минус 4a плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та ,

g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =2|t минус 2a| минус 9|t|.

При t  ≥  0 функ­ция g(t) убы­ва­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от g левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка до минус бес­ко­неч­ность . При t  <  0 функ­ция g(t) воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от минус бес­ко­неч­ность до g левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, \max g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =g левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =4|a|.

Функ­ция f(t) при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =a в квад­ра­те минус 4a плюс 6, причём на про­ме­жут­ке (0; +∞) функ­ция воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка до плюс бес­ко­неч­ность , а на про­ме­жут­ке (−∞; 0)  — убы­ва­ет (функ­ция чётная), при­ни­мая все зна­че­ния от плюс бес­ко­неч­ность до f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка до­сти­га­ет­ся при одном и том же зна­че­нии t = 0, урав­не­ние будет иметь ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда \max g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно \min f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть

a в квад­ра­те минус 4a плюс 6 мень­ше или равно 4|a|.

1.  При a ≥ 0 по­лу­ча­ем

a в квад­ра­те минус 4a плюс 6 мень­ше или равно 4a рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 8a плюс 6 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 4 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно a мень­ше или равно 4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

 

2.  При a < 0 по­лу­ча­ем

a в квад­ра­те минус 4a плюс 6 мень­ше или равно минус 4a рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс 6 мень­ше 0, ре­ше­ний нет.

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 4 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ;4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 512818: 512819 515786 515805 Все

Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025